1．2函数的概念和性质 1．2.1 对应、映射和函数 第一课时 映 射 映射的概念 请思考并分析下面给出的对应关系，它们有什么共同特点？ (1)集合A＝{全班同学}，集合B＝{全班同学的姓}，对应关系是：集合A中的每一个同学在集合B中都有一个属于自己的姓． (2)设集合A＝{0，－3,2,3，－1，－2,1}，集合B＝{9,0,4,1,5}，对应关系是：集合A中的每一个数，在集合B中都有其对应的平方数(如图所示)． 1．映射的定义 设A，B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B的映射，记作f：A→B. 2．像与原像 在映射f：A→B中，集合A叫做映射的定义域，与A中元素x对应的B中的元素y叫x的像，记作y＝f(x)，x叫作y的原像． 已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射的是( ) [提示] A、B、D都是映射，对于C，元素a对应两个元素0,1.不满足唯一性，不是映射．故选C. 映射的概念及应用 [例1] 下列给出的对应，哪些是从A到B的映射： (1)A＝N，B＝N＋，f：x→|x－1|； (2)A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，f：x→y＝x； (3)A＝{x||x|≥3，x∈N}，B＝{a|a≥0，a∈Z}， f：x→a＝x2－2x＋4. [思路点拨] 首先明确对应关系，然后从映射的定义出发，考查A中任意一个元素在B中是否都有唯一的元素与之对应． [解] (1)集合A＝N中元素1在对应关系f：x→|x－1|下为0，而0?N＋，即A中元素1在对应关系f下，B中没有元素与之对应，故不是映射． (2)A中元素6在对应关系f：x→y＝x下为3.而3?B，故不是映射． (3)对A＝{x||x|≥3，x∈N}中的任意元素，总有整数x2－2x＋4＝(x－1)2＋3∈B与之对应．故是从A到B的映射. 借 题 发 挥 理解映射这个概念，应注意以下几点： (1)集合A到B的映射，A、B必须是非空集合(可以是数集，也可以是其他集合)； (2)对应关系有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的； (3)与A中元素对应的元素构成的集合是集合B的子集. 1．已知A＝{1,2,3，…，9}，B＝R，从集合A到集合B的映射f：x→. (1)与A中元素1相对应的B中的元素是什么？ (2)与B中元素相对应的A中的元素是什么？ 解：(1)A中元素1，即x＝1，代入对应关系得＝＝，即与A中元素1相对应的B中的元素是. (2)B中元素，即＝，解得x＝4，因此与B中元素相对应的A中的元素是4. 像与原像 [例2] 设f：A→B是从A到B的一个映射，其中A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：(x，y)→(x－y，x＋y)，那么A中元素(－1,2)的像是_____，B中元素(－1,2)的原像是_____． [思路点拨] 首先要理解映射、像、原像的概念，然后从像与原像的概念出发进行思考． [解] 当x＝－1，y＝2时，有x－y＝－3，x＋y＝1， 因此(－1,2)的像是(－3,1)， 解方程组得 ∴(－1,2)的原像是. 借题发挥 解决映射一类问题时要注意回到定义去，需要深刻理解概念，已知像求原像时，要借助方程思想，通过建立和解方程组求解. 2．f：A→B是集合A到集合B的映射，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)，若B中的元素(6,2)在此映射下与集合A中的元素(3,1)对应，求k与b的值． 解：当时，?故k＝2，b＝1. 1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在下列A到B的四种对应法则中，其中A到B的映射是( ) A．(1)(2) B．(1)(3) C．(1)(4) D．(2)(4) 解析：选A ∵(1)(2)中，A中任意一个元素在B中都有唯一一个元素与之对应，∴(1)(2)是映射． 而(3)集合A中元素4没有元素与之对应，(4)中元素3在B中有两个元素与之对应． 2．设集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,9,25,49,81,100}，下面的对应关系f能构成A到B的映射的是( ) A．f：x→(2x＋1)2 B．f：x→(2x－3)2 C．f：x→－2x－1 D． ... ...
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