2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第二章 2.1 2．1.2　第一课时 指数函数的图象和性质

2．1.2　指数函数的图象和性质 第一课时　指数函数的图象及性质 指数函数的定义 1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个．……一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞分裂的个数y与x之间，构成一个函数关系，你能写出x与y之间的函数关系式吗？ 2．质量为1的某种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的50%，那么这种物质的剩留量y与时间x(单位：年)有何函数关系？ 观察以上两个函数的形式特点，它们有何共同特征？你能类比得出这类函数的解析式的一般形式吗？ 指数函数的定义 函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量． 1．给出下列函数： ①y＝2－x；②y＝2x＋1；③y＝3·2x；④y＝－2x； ⑤y＝(－2)x；⑥y＝x2；⑦y＝πx；⑧y＝(a－1)x(a>1且a≠2)． 其中是指数函数的是_____．(填序号) [提示]　根据指数函数的定义判断，只有⑦、⑧是指数函数． 2．你能概括出指数函数解析式的结构特征吗？ [提示]　(1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：只含自变量x； (3)系数：等于1. 指数函数的图象与性质 试作出函数y＝2x(x∈R)和y＝x(x∈R)的图象，并仔细观察图象，回答： (1)这两个函数的图象具有什么几何特征？ (2)它们的值域是什么？ (3)你能归纳出它们具有怎样的性质？推广到一般呢？ 指数函数的图象与性质 a>1 00时，y>1； 当x<0时，00时，01. 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 1．若函数y＝(a－1)x在R上为减函数，则a的取值范围是_____． [提示]　根据指数函数的单调性可知，00且a≠1)， 则f(－2)＝a－2＝9， 即2＝9，∴是9的平方根． 又>0，∴＝3，得a＝.∴f(x)＝x. 指数函数概念的理解应用 [例1]　(1)下列函数： ①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3. 其中，指数函数的个数是(　　) A．0　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 (2)已知函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，试求a的值． [思路点拨]　根据指数函数的定义求解． [解]　(1)选B　①中，3x的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数； ③中，y＝3x,3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数； ④中，y＝x3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数． (2)∵y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数． ∴解得：， ∴a＝2. 借题发挥 判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构，否则就不是指数函数．其中，规定底数a大于零且不等于1的原因： ①如果a＝0，则. ②如果a<0，则对于一些函数，比如y＝(－4)x，当x＝，x＝…时，在实数范围内函数值不存在． ③如果a＝1，则y＝1x＝1是个常量，就没有研究的必要了. 　　 1．下列函数一定是指数函数的是(　　) A．y＝(a2－a＋1)x(a为常数) B．y＝22x＋1 C．y＝(|m|＋2)x(m为常数) D．y＝x2 解析：选C　对于A，a2－a＋1＝2＋≥，有可能等于1.故不一定是指数函数；对于B，是复合函数．而C中，|m|＋2≥2，符合指数函数的定义；对于D，自变量x在底数上，不是指数函数． 有关指数函数的定义域和值域 [例2]　求下列函数的定义域与值域． (1)y＝2； (2)y＝－|x|. [思路点拨]　可利用换元法将函数转化为指数函数，然后根据指数函数的定义域结合图象求其值域． [解]　(1)令t＝， ∵x∈R且x≠4.∴t≠0. ∴y＝2t∈(0,1)∪(1，＋∞)， 故原函数的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞)， 值域为(0,1)∪(1，＋∞)． (2)令t＝－|x ... ...