4．3.3 三次函数的性质：单调区间和极值 [读教材·填要点] 1．三次函数的性质：单调区间和极值 设F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则F′(x)＝3ax2＋2bx＋c是二次函数． (1)函数F′(x)没有零点，F′(x)在(－∞，＋∞)上不变号，则： ①若a＞0，则F′(x)恒正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增； ②若a＜0，则F′(x)恒负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减． (2)函数F′(x)有一个零点x＝w，则： ①若a＞0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增； ②若a＜0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减． (3)函数F′(x)有两个零点，x＝u和x＝v，设u＜v，则： ①若a＞0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为正，在(u，v)上为负；对应地，F(x)在(－∞，u)上递增，在(u，v)上递减，在(v，＋∞)上递增． 可见F(x)在x＝u处取极大值，在x＝v处取极小值． ②若a＜0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为负，在(u，v)上为正；对应地，F(x)在(－∞，u)上递减，在(u，v)上递增，在(v，＋∞)上递减． 可见F(x)在x＝u处取极小值，在x＝v处取极大值． 2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． [小问题·大思维] 1．根据三次函数的性质能否画出其图象草图？ 提示：根据三次函数的单调性、极值，可以画出． 2．在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间(a，b)上呢？ 提示：一定有最值，但不一定有极值．如果函数f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a，b]上无极值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，则f(x)在[a，b]上有极值．当f(x)在(a，b)上为单调函数时，它既没有最值也没有极值． 三次函数性质的确定与应用 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围； (3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围． [自主解答] (1)∵f′(x)＝3x2－6， 令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝， ∴当x＜－或x＞时，f′(x)＞0； 当－＜x＜时，f′(x)＜0. ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)； f(x)的单调递减区间为(－，)． 当x＝－时，f(x)有极大值5＋4； 当x＝时，f(x)有极小值5－4. (2)由(1)知，函数y＝f(x)的图象大致形状如图所示， 当5－4＜a＜5＋4时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点， 即方程f(x)＝a有三个不同的解． ∴实数a的取值范围是(5－4，5＋4)． (3)f(x)≥k(x－1)， 即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)． ∵x＞1，∴k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝x2＋x－5，g(x)在(1，＋∞)上是增函数， ∴g(x)＞g(1)＝－3.∴k的取值范围是(－∞，－3]． 1．求三次函数的单调区间与极值的问题，求导后转化为一元二次方程及一元二次不等式的求解问题去解决． 2．解决不等式恒成立问题，大多可用函数的观点来审视，用函数的有关性质来处理，而导数是研究函数性质的有力工具，因而常将不等式f(x)>g(x)(f(x)0(F(x)＝f(x)－g(x)<0)恒成立问题，再用导数方法探讨F(x)的单调性及最值． 1．已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－2时都取得极值． (1)求a，b的值； (2)若x∈[－3,2]时都有f(x)>－恒成立，求c的取值范围． 解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 由题意，得即 解得 (2)由(1)知f′(x)＝3x2＋3x－6＝3(x＋2)(x－1)． 令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1. 当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表所示： x －3 (－3，－2) －2 (－2,1) 1 (1,2) 2 f′(x) ＋ 0 － ... ...
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