1．导数的几何意义 导数的几何意义通常是指曲线的切线斜率；导数的物理意义通常是指物体运动的瞬时速度． 2．函数的单调性与导数 (1)在某个区间内，若f′(x)>0(或f′(x)<0)，则函数f(x)在此区间内为增(或减)函数． (2)利用导数证明函数在某区间上的单调性的关键是设法证明f′(x)>0或f′(x)<0恒成立；利用导数讨论函数的单调区间，则要解不等式f′(x)>0或f′(x)<0. (3)若f(x)为增(或减)函数，则应有f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．在已知函数的单调性，利用导数求解相关参数时，要特别关注f′(x)＝0，即f(x)为常数的情况． 3．导数与函数的极值、最值 (1)函数的极值是一个局部概念，极大值与极小值之间无确定的大小关系，并且函数的极值个数不是确定的，也可能没有极值．而函数的最值表示函数在一个区间上的整体情况，是对函数在整个区间上函数值的比较． (2)可导函数的极值点必是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．从而知x0是极值点的充分条件是在x＝x0的两侧导数值异号． (3)一般地，在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．求最值的关键是比较极值与端点处的函数值的大小．若定义域内只有一个极值点，则这个极值点一定是最值点． 4．定积分与微积分基本定理 利用微积分基本定理计算定积分，关键是求被积函数的原函数．而求被积函数的原函数和求函数的导函数恰好互为逆运算，要注意它们在计算和求解中的不同，避免混淆． 导数的几何意义 [例1] 已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标； (3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． [解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32. (2)法一：设切点为(x0，y0)， 则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1， ∴直线l的方程为 y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16. 又∵直线l过点(0,0)， ∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16. 整理得，x＝－8，∴x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． 法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)， 则k＝＝， 又∵k＝f′(x0)＝3x＋1， ∴＝3x＋1. 解得x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y＝－x＋3垂直， ∴切线的斜率k＝4. 设切点坐标为(x0，y0)， 则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1. ∴或 即切点为(1，－14)或(－1，－18)． 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14. 函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)，于是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 1．(天津高考)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为_____． 解析：因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1， 又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)， 令x＝0，得y＝1. 答案：1 2．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C. (1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围； (2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围． 解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3， 则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1， 即过曲线C上任意一点切线斜率的取值 ... ...
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