高中数学轮换对称不等式的证明技巧轮换对称不等式的证明技巧

　第 1 页 共 2 页 高中数学轮换对称不等式的证明技巧 轮换对称不等式形式优美，证明技巧很多，但规律难寻。本文介绍利用基本不等式等号成立的条件凑项证明，只要领悟添项的技巧，这类不等式完全可以程式化证明，供参考。 一、凑项升幂法 例1 已知，且， 求证： 分析：由于当时，上述不等式的“=”成立，于是。 证明：因为，所以，同理，，上述三式相加，并将代入化简即得证。 二、凑项降幂法 例2 证明Cauchy不等式 证明：设，则，所以， 即。 三、凑项去分母法 例3　设是正数，且， 求证：（1990年第24届全苏数学奥林匹克十年级题２） 分析：由于当时等号成立，于是。 证明：设，因为 所以，即。 例4　设，且，求证：（1995年第36届IMO题2） 证明：原不等式等价于 当a=b=c=1时等号成立，此时，所以，，同理，，，上述三式相加并化简得 例5　设角A、B、C满足 求证： 分析：原条件等价于，当时等号成立，于是，，上述三式相加并化简得证，证明略。 四、凑项平衡系数法 例6　设z>0，，则。 分析：当x=y=时等号成立。 证明：因为，，①，将上述三式相加并化简得，② 所以， 即。 注：只有①式的系数凑成，②式中xy的系数才能是。 上述各种凑项方法不是相对独立的，可以交替使用，但凑项的关键是在求和时能利用已知条件，并能取到等号。 注：本文发表于《上海中学数学》2003年第6期