课件19张PPT。2.1 数学归纳法 及其应用举例 （2） 学习目标进一步理解数学归纳法的证明原理 会利用数学归纳法证明与自然数有关的几何问题、不等式问题和整除问题 了解数学归纳法应用的广泛性，进一步掌握数学归纳法的证明步骤①数学归纳法证明有哪些步骤？②数学归纳法通常解决什么问题？ (与正整数有关命题) 例1.已知x> ?1，且x?0，n?N，n?2．求证：(1+x)n>1+nx 证明：1.当n=2时， 左＝(1＋x)2=1+2x+x2 ∵ x?0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右 ∴n=1时不等式成立 2.假设n=k时，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx 当n=k+1时，因为x> ?1 ，所以1+x>0，于是 左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右边=1+(k+1)x． 因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x． 这就是说，原不等式当n=k+1时也成立． 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立 例2.证明：2n+2>n2，n?N+． 证明：1.当 n=1时，左边=21+2=4；右边=1，左边>右边 当n=2时，左=22+2=6，右=22=4，∴左>右； 当n=3时，左=23+2=10，右=32=9，∴左>右． 因此当n=1，2，3时，不等式成立． 2.假设当n=k(k?3且k?N)时，不等式成立．即2k+2>k2． 因为2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)?2>2k2?2 =k2+2k+1+k2?2k?3 =(k2+2k+1)+(k+1)(k?3) (因k?3，则k?3?0,k+1>0） ?k2+2k+1=(k+1)2． 所以2k+1+2>(k+1)2． 故当n=k+1时，原不等式也成立． 根据1和2，原不等式对于任何 n?N*都成立例3、求证：当n?2,n?N时，证明：1、当n=2时，∴n=2时原不等式成立 2、假设n=k (k?2)时不等式成立，即当n=k+1时例4.设数列{an}满足an+1=an2?nan+1,n=1,2,3,… (1)当a1=2时，求a2,a3,a4，由此猜想出an的一个通项公式,并证明 (2)当a1?3时，证明：对所有的n?1，有an?n+2 注意： 此问题解答过程中用到了 “观察--归纳—猜想--证明”的思维方式. 1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变． 2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标． 3．数学归纳法也不是万能的，也有不能解决的问题．巩固练习：例 题 选 讲例5 用数学归纳法证明： 34n+2＋52n+1能被14整除．分析：(i)容易验证当n＝1时，34×1+2＋52×1+1 ＝854＝14×61，能被14整除．(ii)设n＝k(k≥1，k∈N*)时，34k+2＋52k+1能被14整除．当n＝k＋1时，相应的表达式怎样写？整除问题34(k+1)+2＋52(k+1)+1从34(k+1)+2＋52(k+1)+1＝34k+2·34＋52k+1·52 入手例 题 选 讲例5 用数学归纳法证明： 34n+2＋52n+1能被14整除．证明：(i)当n＝1时，34×1+2＋52×1+1＝854＝14×61， ∴当n＝1时，34n+2＋52n+1能被14整除．(ii)设n＝k(k≥1，k∈N*)时，34k+2＋52k+1能被14整除．那么当n＝k＋1时34(k+1)+2＋52(k+1)+1＝34k+2·34＋52k+1·52 ＝81·34k+2＋25·52k+1＝(25＋56)·34k+2＋25·52k+1 ＝25·(34k+2＋52k+1)＋56·34k+2．整除问题2、解题关键是把34(k+1)+2＋52(k+1)+1拆分为34k+2·34＋52k+1·52 ，再组合为都能被14整除的两整式的和。1、本题在解答中应用了数的整除性质 设A、B、C是整数， （1）若A整除B,则A整除BC; (2) 若A整除B且整除C,则A整除B+C∵ (34k+2＋52k+1)能被14整除，56能被14整除， ∴ 34n+2＋52n+1能被14整除．即n＝k＋1时，命题成立． 根据(i)、(ii)可知, 34n+2＋52n+1能被14整除．例 题 选 讲25·(34k+2＋52k+1)＋56·34k+2．小 结 例6：用数学归纳法证明：x2n－y2n能被x＋y整除． 例 题 选 讲分析 （1）当n=1时是成立的， 例6：用数学归纳法证明：x2n－y2n能被x＋y整除． ... ...
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