第九节圆锥曲线的综合问题 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程． 即消去y，得ax2＋bx＋c＝0. (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0?直线与圆锥曲线C相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线C相切； Δ＜0?直线与圆锥曲线C相离． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时， 若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．弦长公式 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝|x1－x2| ＝· ＝ ·|y1－y2| ＝·. [小题体验] 1．(教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 解析：选A 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交． 2．顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线截得直线y＝2x＋1所得的弦AB的长为，则该抛物线的标准方程为_____． 解析：设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由方程组可得4x2＋(4－m)x＋1＝0. 所以x1＋x2＝－，x1x2＝. 所以|AB|＝ ＝ ＝， 解得m＝12或m＝－4. 所以抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－4x. 答案：y2＝12x或y2＝－4x 1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点． 2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点． [小题纠偏] 1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)． 2．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是( ) A．1 B．2 C．1或2 D．0 解析：选A 因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点． [典例引领] 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程； (2)设斜率为k的直线l过定点P(－2,1)，若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围． 解：(1)设点M(x，y)，依题意|MF|＝|x|＋1， ∴＝|x|＋1，化简得y2＝2(|x|＋x)， 故轨迹C的方程为y2＝ (2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x(x≥0)，C2：y＝0(x＜0)． 依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)． 联立消去x， 可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.① 当k＝0时，此时y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝. 故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点. 当k≠0时，方程①的Δ＝－16(2k2＋k－1)＝－16(2k－1)(k＋1)，② 设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则 由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③ (ⅰ)若由②③解得k＜－1或k＞. 所以当k＜－1或k＞时，直线l与曲线C1没有公共点，与曲线C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点. (ⅱ)若即解集为?. 综上可知，当k＜－1或k＞或k＝0时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点． 故实数k的取值范围为(－∞，－1)∪{0}∪. [由题悟法] 1．直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 (1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标． (2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
