课件40张PPT。专题突破六 构造函数法在导数中的应用第三章 导数及其应用 所谓“构造函数”即从无到有，即在解题的过程中，根据题目的条件和结构特征，不失时机地“构造”出一个具体函数，对学生的思维能力要求较高，难度较大，一般都作为小题或解答题的压轴部分. 一、作差法构造 例1 设函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋ ，它们的图象在x轴上的公共点处有公切线. 求证：当x>1时，f(x)1时，g′(x)>0. 所以x＝1是g(x)的极小值点，也是最小值点. 故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.二、分离参数法构造 例2 若对任意的x∈[e，＋∞)，都有xln x≥ax－a，求实数a的取值范围.解 对于任意的x∈[e，＋∞)，都有xln x≥ax－a，即m(x)＝x－ln x－1在[e，＋∞)上单调递增， 故m(x)≥m(e)＝e－2>0， ∴h′(x)>0，点评 恒成立问题中，求参数范围的问题，常常分离参数，转化为a≤F(x)min或a≥F(x)max.其中F(x)为构造的新函数.跟踪训练2 (2018·玉溪模拟)已知函数f(x)＝ex＋tx(e为自然对数的底数).若对于任意的x∈(0,2]，不等式f(x)>0恒成立，则实数t的取值范围为 .(－e，＋∞)解析 依题意得ex＋tx>0在(0,2]上恒成立，当00；当1f(x)，则当a>0时，f(a)与eaf(0)的大小关系为 A.f(a)eaf(0) C.f(a)＝eaf(0) D.不能确定√即f(a)>eaf(0).跟踪训练3 设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得 >0成立的x的取值范围是 .(－1,0)∪(0,1)因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数.且当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，又f(－1)＝0，f(1)＝0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减，跟踪训练4 已知函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1，设a≤－2.证明：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.证明 不妨假设x1≥x2，由于a≤－2，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|等价于f(x2)－f(x1)≥4x1－4x2， 即f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1，令g(x)＝f(x)＋4x，从而g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故g(x1)≤g(x2)， 即f(x1)＋4x1≤f(x2)＋4x2， 故对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.12345针对训练ZHENDUIXUNLIAN61.已知函数f(x)＝kx2－ln x，若f(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，则k的取值范围是√123456当x∈(0， )时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈( ，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减.1234562.若α，β∈ ，且αsin α－βsin β>0，则下列结论正确的是 A.α>β B.α2>β2 C.α<β D.α＋β>0√123456解析 令f(x)＝xsin x，f′(x)＝sin x＋xcos x，∵αsin α>βsin β，∴f(α)>f(β)， 又f(x)为偶函数， ∴|α|>|β|，故α2>β2.1234563.已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，f′(x)是f(x)的导函数，且总有f(x)>xf′(x)，则不等式f(x)>xf(1)的解集为 A.(－∞，0) B.(0，＋∞) C.(0,1) D.(1，＋∞)√123456∵f(x)>xf′(x)，∴g′(x)<0， ∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减.∴f(x)>xf(1)的解集为(0,1).1234564.已知函数f(x) ... ...
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