3.1 空间向量及其运算(3) 同步学案

高二数学 选修2—1 第三章 §3.1 空间向量及其运算(3) 班级 姓名 学习目标 1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示； 2. 掌握空间向量的坐标运算的规律； 学习过程 一、课前准备 复习1：平面向量基本定理：对平面上的任意一个向量，是平面上两个 向量，总是存在 实数对，使得向量可以用来表示，表达式为 ，其中叫做 . 若，则称向量正交分解. 复习2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的 向量作为基底，对平面上任意向量，有且只有一对实数x，y，使得，，则称有序对为向量的 ，即＝ . 二、新课导学 1、空间向量基本定理： 定理：如果三个向量不共面，对空间任一向量，存在有序实数组，使得．把叫做空间的一个基底，都叫做基向量．记住：空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． 2、空间向量的正交分解及其坐标表示 （1）单位正交基底 三个有公共起点O且＿＿＿＿＿＿＿＿的单位向量，，称为单位正交基底． （2）空间直角坐标系 以，，的公共起点O为原点，分别以，，的方向为x轴,y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz． （3）空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原来O重合，得到向量，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得＝把称作向量在单位正交基，，下的坐标，记作＿＿＿ ＿＿． 3、空间向量的数量积运算：设， （1）数量积：·|||| （2）向量的模（长度）：因为，所以||＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． （3）向量的垂直：当，为非零向量时，＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． （4）向量的平行：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． （5）向量夹角： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 4、空间两点间的距离：已知两点坐标，，则 （1），两点的中点坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． （2），两点间的距离为： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ※ 典型例题 例1、如图，M,N分别是四面体OABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点，用 表示和. 变式1、已知平行六面体，点G是侧面的中心，且，，试用向量表示下列向量：（1）； （2）． 例2、如图,在正方体中，点分别是的一个四等分点，求与所成的角的余弦值． 三、总结提升 ※ 学习小结 1.向量的数量积的定义和几何意义. 2. 向量的数量积的性质和运算律的运用. 课后作业 一、基础训练题 1．已知a＝(2，－3，1)，则下列向量中与a平行的是(　　) A．(1，1，1) B．(－2，－3，5) C．(2，－3，5) D．(－4，6，－2) 2．已知a＝(1，5，－2)，b＝(m，2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为(　　) A．0 B．6 C．－6 D．±6 3．给出下列命题：①对空间任意两个向量a，b(b≠0)，则a∥b的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa；②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；③若，，不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面；④对于非零向量a，b，c，则(a·b)c＝a(b·c)一定成立．其中正确命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦为，则λ＝(　　) A．2 B．－2 C．－2或 D．2或－ 5．已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若＝，则C的坐标是(　　) A. B. C. D. 6．设命题p：{a，b，c}为空间的一个基底，命题q：a、b、c是三个非零向量，则命题p是q的_____条件． 7．已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝_____． 8．与a＝(2，－1,2)共线且满足a·z＝－18的向量，z＝_____. 9．已知空间三个向量a＝(1，－2，z)，b＝(x,2，－4)，c＝(－1，y,3)，若它们分别两两垂直，则x＝_____，y＝_____，z＝_____. 10．已知空间三点A(1，1，1)，B( ... ...