2019高考数学（理）热点问题解题策略指导系列 专题09 函数与导数热点问题 【最新命题动向】函数与导数的压轴试题，在每年的高考中属于必考内容，其命题方向主要有两个：一是围绕函数的性质考查函数的奇偶性、单调性、周期性、极值、最值、曲线的切线等问题展开，二是围绕函数与方程、不等式关系探索方程根的个数、不等式的证明、不等式恒成立等问题展开.此类压轴试题难度较大，逻辑推理能力较强，在备考中不可小视. 【策略一】灵活提炼重要不等式———牵线搭桥 【典例1】（2019年5月金华模拟卷理21）已知函数f(x)＝aln x＋bx (a，b∈R)在点(1，f(1))处的切线方程为x－2y－2＝0. (1)求a，b的值； (2)当x>1时，f(x)＋<0恒成立，求实数k的取值范围； (3)证明：当n∈N＋，且n≥2时，＋＋…＋>. 【审题示例】 思路提示 解题关键 本题第(1)问是利用导数的几何意义求参数的取值．已知函数f(x)＝aln x＋bx(a，b∈R)在点(1，f(1))处的切线方程为x－2y－2＝0，求a，b的值，即求函数f(x)的解析式，比较简单，但计算必须正确，因为这是下一问的基础. 方程思想：求解时，利用点(1，f(1))处的导数f′(1)为切线的斜率，且点(1，f(1))在切线上，建立方程组，解方程组求出a，b. 本题第(2)问是不等式的恒成立问题．在第(1)问求对函数f(x)的解析式的前提条件下，已知x>1时，不等式f(x)＋<0恒成立，求实数k的取值范围. 分离常数法：当x>1时，f(x)＋<0恒成立，即ln x－＋<0，等价于k<－xln x，转化为求函数g(x)＝－xln x的最小值，这是解决不等式恒成立问题的一种基本方法． 分类讨论法：这一问还可以构造函数g(x)＝ln x－＋，得g′(x)＝对方程x2－2x＋2k＝0(﹡)的判别式Δ＝4－8k进行分类讨论． 本题第(3)问是证明与正整数有关的不等式问题．当n∈N＋，且n≥2时，证明＋＋…＋>成立. 赋值法：由(2)提炼出不等式，当x>1时，ln x－＋<0，即xln x<，又xln x>0，从而，>＝－，然后对x进行赋值得以证明. 【规范解答】 【知识点归类点拔】构造函数证明不等式的技巧 (1)移项法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)
0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)； (2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数； (3)主元法：对于(或可化为)f(x1，x2)≥A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x))； (4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数． (5)赋值法：证明正整数不等式时，要把这些正整数放在正实数的范围内，通过构造正实数的不等式进行证明，而不能直接构造正整数的函数，因为这样的函数不是可导函数，使用导数就是错误的。 【策略二】灵活运用分类讨论思想———各个击破 【典例2】(2018·全国Ⅰ卷理科21)已知函数f(x)＝－x＋aln x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：