1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质 同步学案

选修2-3 第一章 §1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质 班级 姓名 学习目标 1.掌握二项式系数的性质； 2.了解杨辉三角的特点。 学习过程 一、课前准备 复习：写出二项式定理的公式： ⑴ 公式中叫做 ， 二项展开式的通项公式是 ，用符号 表示 ，通项为展开式的第 项. ⑵ 在展开式中，共有 项，各项次数都为 ，的次数规律是 ， 的次数规律是 ，各项系数分别是 . 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：杨辉三角 问题1：在展开式中，当n＝1，2，3，…时，各项的二项式系数有何规律？ 新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关系是 探究任务二 二项式系数的性质 问题2：设函数，函数的定义域是 ，函数图象有何性质？（以n＝6为例） 新知2：二项式系数的性质 ⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是. 试试：① 在(a＋b)展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( ) A .第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项 ② 若的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n＝ . 反思：为什么二项式系数有对称性？ ⑵ 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 . 当n是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值； 当n是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二项式系数都取得最大值. 试试：的各二项式系数的最大值是 ⑶ 各二项式系数的和： 在展开式中，若，则可得到 即 ※ 典型例题 例1、求的展开式中系数最大的项． 变式1：在二项式(x-1)的展开式中, ⑴ 求二项式系数最大的系数的项； ⑵ 求项系数最小的项和最大的项. 小结：在展开式中， 要正确区分二项式系数和项系数的不同，可以利用通项公式，找到二项式系数和项系数的关系来达到目的. 例2、证明：在展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 变式2：⑴ 化简: ; ⑵ 求和：. 小结：取特殊值法（又称赋值法）在解决有关二项式系数和时经常使用的一种 ，除此之外还有倒序相加法. 例3、求(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数. 变式3：(1＋2)3(1－)5的展开式中x的系数是 例4、求233除以9的余数． 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 二项式系数的三个性质 2. 数学方法 ： 赋值法和递推法 课后作业 一、基础训练题 1．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于(　　)． A．11 B．10 C．9 D．8 2．设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(　　)　　21*cnjy*com A．1 B．2 C．3 D．4 3．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为(　　) A．2n－1　　 B．2n－1　　 C．2n＋1－1　　 D．2n 4．关于(a－b)10的说法，错误的是(　　) A．展开式中的二项式系数之和是1024 B．展开式的第6项的二项式系数最大 C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 5．若(x＋3y)n展开式的系数和等于(7a＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为(　　)． A．5 B．8 C．10 D．15 6．(2010·广东惠州)已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n－5，则(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的(　　) A．第9项 B．第10项 C．第19项 D．第20项 7．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是(　　) A．－297 B．－252 C．297 D．207 8．若(1－2x)2011＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010＋a2011x2011(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)＝_____.(用数字作答) 9．(x2－2x＋1)4的展开式中x7的系数是_____． 10．设(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，当a0＋a1＋a2＋…＋an ... ...