21.2.1 二次函数y＝ax2的图象和性质(要点讲解+当堂检测+答案)

沪科版数学九年级上册同步学案 第二十一章　二次函数与反比例函数 21.2　二次函数的图象和性质 21.2.1　二次函数y＝ax2的图象和性质 要 点 讲 解 要点　二次函数y＝ax2的图象和性质 1. 抛物线定义：二次函数y＝ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线，我们把这条曲线叫做抛物线. 2. 二次函数y＝ax2(a≠0)的性质可列表归纳如下： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最大(小)值 y＝ax2 (a>0) 向上 (0，0) y轴 x>0时，y随x增大而增大；x<0时，y随x增大而减小 当x＝0时，y最小值＝0，且y没有最大值，即y≥0 y＝ax2 (a<0) 向下 (0，0) y轴 x>0时，y随x增大而减小；x<0时，y随x增大而增大 当x＝0时，y最大值＝0，且y没有最小值，即y≤0 点拨：抛物线是一个轴对称图形，开口方向、对称轴、顶点通常被称为抛物线的三要素. 3. 抛物线y＝ax2开口方向、大小与系数a的关系 (1)a的符号决定抛物线开口方向，a为正，开口向上；a为负，开口向下. (2)|a|的大小决定抛物线开口的大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大. 4. 抛物线y＝ax2上点的坐标特征 由于抛物线y＝ax2关于y轴对称，所以若点A(x，y)在抛物线y＝ax2的图象上，则点A′(－x，y)也在抛物线y＝ax2的图象上. 点拨：(1)由于x可取一切实数，所以描点法所画的图象只是整个函数图象的一部分，是近似的图象，图象应是向两方无限延伸的；(2)点取的越多，图象画的越精确；(3)图象必须平滑. 经典例题1　已知y＝(k＋1)xk2－2是关于x的二次函数. (1)求满足条件的k的值； (2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个抛物线的最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？ (3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？ 解：(1)由题意，得解得k＝±2. ∴当k＝±2时，原函数是二次函数. (2)若抛物线有最低点，则抛物线的开口向上， ∴k＋1>0，即k>－1，∴k＝2. ∴该抛物线的表达式为y＝3x2， ∴抛物线的顶点为(0，0)， 当x>0时，y随x的增大而增大. (3)若抛物线有最大值，则抛物线的开口向下， ∴k＋1<0，∴k<－1，∴k＝－2. ∴抛物线的表达式为y＝－x2，顶点坐标为(0，0). ∴函数最大值为0，当x<0时，y随x的增大而减小. 点拨：(1)对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点，顶点不是抛物线与y轴的交点；(2)a的绝对值越大，抛物线的开口越小. 经典例题2　若A(－，y1)，B(－1，y2)，C(，y3)是二次函数y＝－x2的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是(　　　) A. y1－>－>－1，所以y20，即n<1.∴n＝－3. ∴当n＝－3时，抛物线有最低点，这个最低点的坐标是(0，0). 点拨：抛物线有最低点或最高点是由抛物线y＝ax2(a≠0)的二次项系数a的符号决定的：当a>0时，抛物线开口向上，有最低点；当a<0时，抛物线开口向下，有最高点.而此题常错误地认为n>0时，抛物线有最低点.正确的答案应为1－n>0，即n<1时，抛物线有最低点，因为二次项系数是1－n. 当 堂 检 测 1. 抛物线y＝ax2(a＜0)的图象 ... ...