2020版高考数学一轮复习（山东专版）第五节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式

第五节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式 A组　基础题组 1.(2019湖南益阳、湘潭调研)已知sin α=25,则cos(π+2α)=(　　) A.725 B.-725 C.1725 D.-1725 答案　D　∵sin α=25,∴cos 2α=1-2sin2α=1-825=1725,∴cos(π+2α)=-cos 2α=-1725,故选D. 2.已知sinπ4+θ=13,则sin 2θ=(　　) A.-79 B.-19 C.19 D.79 答案　A　因为sinπ4+θ=13,所以22(sin θ+cos θ)=13,两边平方得12(1+sin 2θ)=19,解得sin 2θ=-79. 3.已知α,β都是锐角,且sin αcos β=cos α(1+sin β),则(　　) A.3α-β=π2 B.2α-β=π2 C.3α+β=π2 D.2α+β=π2 答案　B　因为sin αcos β=cos α(1+sin β), 所以sin(α-β)=cos α=sinπ2-α, 所以α-β=π2-α,即2α-β=π2. 4.已知sin α=55,sin(α-β)=-1010,α,β均为锐角,则cos 2β=(　　) A.-32 B.-1 C.0 D.1 答案　C　由题意知:cos α=1?15=255, cos(α-β)=1?110=31010. 所以cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=22. 所以cos 2β=2cos2β-1=2×12-1=0. 5.(2019陕西榆林模拟)设α∈0,π2,若cosα+π6=45,则sin α=(　　) A.3?4310 B.3+4310C.33+410 D.33-410 答案　D　由题意知α∈0,π2,cosα+π6=45, 则sinα+π6=35, 所以sin α=sinα+π6-π6 =sinα+π6cosπ6-cosα+π6sinπ6=33-410,故选D. 6.(1+tan 17°)·(1+tan 28°)的值为　　　　.? 答案　2 解析　原式=1+tan 17°+tan 28°+tan 17°·tan 28° =1+tan 45°(1-tan 17°·tan 28°)+tan 17°·tan 28° =1+1=2. 7.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tan α=43,cos(α+β)=-55. (1)求cos 2α的值; (2)求tan(α-β)的值. 解析　(1)因为tan α=43,tan α=sinαcosα, 所以sin α=43cos α. 因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=925, 所以cos 2α=2cos2α-1=-725. (2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π). 又因为cos(α+β)=-55, 所以sin(α+β)=1?cos2(α+β)=255, 因此tan(α+β)=-2. 因为tan α=43,所以tan 2α=2tanα1?tan2α=-247. 因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=-211. 8.已知cosπ6+αcosπ3-α=-14,α∈π3,π2. (1)求sin 2α的值; (2)求tan α-1tanα的值. 解析　(1)cosπ6+αcosπ3-α=cosπ6+α·sinπ6+α=12sin2α+π3=-14, 即sin2α+π3=-12. ∵α∈π3,π2,∴2α+π3∈π,4π3, ∴cos2α+π3=-32, ∴sin 2α=sin2α+π3-π3 =sin2α+π3cosπ3-cos2α+π3sinπ3 =-12×12--32×32=12. (2)∵α∈π3,π2,∴2α∈2π3,π, 由(1)知sin 2α=12,∴cos 2α=-32. ∴tan α-1tanα=sinαcosα-cosαsinα =sin2α-cos2αsinαcosα=-2cos2αsin2α=-2×-3212=23. B组　提升题组 1.(2019山东淄博一模)若α为第一象限角,且sin 2α=sinα-π2cos(π+α),则2cos2α-π4的值为　　　　.? 答案　75 解析　由sin 2α=sinα-π2cos(π+α), 得2sin αcos α=cos2α. ∵α为第一象限角,∴tan α=12, ∴2cos2α-π4=2cos2αcosπ4+sin2αsinπ4 =cos 2α+sin 2α=cos2α-sin2α+2sin αcos α =1?tan2α1+tan2α+2tanα1+tan2α=1?tan2α+2tanα1+tan2α =1?14+2×121+14=75. 2.已知sin 10°+mcos 10°=2cos 140°,则m=　　　　.? 答案　-3 解析　由sin 10°+mcos 10°=2cos 140°可得, m=2cos140°?sin10°cos10°=-2cos40°-sin10°cos10° =-2cos(30°+10°)-sin10°cos10°=-3cos10°cos10°=-3. 3.已知函数f(x)=Asinx+π3,x∈R,且f5π12=322. (1)求A的值; (2)若f(θ)-f(-θ)=3,θ∈0,π2,求fπ6-θ. 解析　(1)由f5π12=322, 得Asin5π12+π3=322?Asin3π4=322?22A=322?A=3. (2)由f(θ)-f(-θ)=3, 得3sinθ+π3-3sin-θ+π3=3, 即3sinθ+π3+3sinθ-π3=3, 化 ... ...