2020版高考数学一轮复习 （北京专版）第一节　变化率与导数、导数的计算

第一节　变化率与导数、导数的计算 A组　基础题组 1.记函数f(x)的导数为f '(x),若f(x)对应的曲线在点(x0,f(x0))处的切线方程为y=-x+1,则(　　) A.f '(x0)=2 B.f '(x0)=1 C.f '(x0)=0 D.f '(x0)=-1 答案　D　由函数在某一点处的导数的几何意义知f '(x0)=-1. 2.已知函数f(x)=1xcos x,则f(π)+f 'π2=(　　) A.-3π2 B.-1π2 C.-3π D.-1π 答案　C　∵f(x)=1xcos x,∴f '(x)=-1x2cos x+1x·(-sin x),∴f(π)+f 'π2=-1π+2π·(-1)=-3π. 3.曲线y=xex+2x-1在点(0,-1)处的切线方程为(　　) A.y=3x-1 B.y=-3x-1 C.y=3x+1 D.y=-3x+1 答案　A　由题意得y'=(x+1)ex+2,则曲线y=xex+2x-1在点(0,-1)处的切线的斜率为(0+1)e0+2=3,故曲线y=xex+2x-1在点(0,-1)处的切线方程为y+1=3x,即y=3x-1. 4.已知f(x)=x(2 016+ln x),若f '(x0)=2 017,则x0等于(　　) A.e2 B.1 C.ln 2 D.e 答案　B　f '(x)=2 016+ln x+x·1x=2 017+ln x,由f '(x0)=2 017,得2 017+ln x0=2 017,则ln x0=0,解得x0=1. 5.若直线y=ax是曲线y=2ln x+1的一条切线,则实数a=　　　(　　) A.e-12 B.2e-12 C.e12 D.2e12 答案　B　依题意,设直线y=ax与曲线y=2ln x+1的切点的横坐标为x0,对于y=2ln x+1,易知y'=2x,则有y'|x=x0=2x0,于是有a=2x0,ax0=2ln x0+1,解得x0=e,a=2e-12,选B. 6.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=(　　) A.-1 B.0 C.2 D.4 答案　B　由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-13,∴f '(3)=-13.∵g(x)=xf(x),∴g'(x)=f(x)+xf '(x),∴g'(3)=f(3)+3f '(3),又由题图可知f(3)=1, ∴g'(3)=1+3×-13=0. 7.已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为　　　　.? 答案　1 解析　由题意可知f '(x)=a-1x, 所以f '(1)=a-1, 因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a), 所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1), 即y=(a-1)x+1. 令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1. 8.已知函数f(x)=ex-mx+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则实数m的取值范围为　　　　.? 答案　1e,+∞ 解析　函数f(x)=ex-mx+1的导函数为f '(x)=ex-m, 要使曲线C存在与直线y=ex垂直的切线, 则需ex-m=-1e有解,即m=ex+1e有解, 由ex>0,得m>1e,则实数m的取值范围为1e,+∞. 9.已知函数f(x)=13x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C. (1)求过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围; (2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围. 解析　(1)由题意得f '(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1, 所以过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是[-1,+∞). (2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k, 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,k≥-1,-1k≥-1, 解得-1≤k<0或k≥1, 故由-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1, 得x∈(1,3)∪(-∞,2-2]∪[2+2,+∞). 10.已知函数f(x)=ax2-bx(a>0)和g(x)=ln x的图象有公共点P,且在点P处的切线相同. (1)若点P的坐标为1e,-1,求a,b的值; (2)若a=b,求切点P的坐标. 解析　f '(x)=2ax-b,g'(x)=1x. (1)由题意得f1e=ae2-be=-1,　① 且f '1e=g'1e,即2ae-b=e,　② 由①②得a=2e2,b=3e. (2)若a=b,则f '(x)=2ax-a, 设切点P的坐标为(s,t),其中s>0, 由题意得as2-as=ln s,　③ 2as-a=1s,　④ 由④得a=1s(2s-1),其中s≠12, 代入③得s-12s-1=ln s.　⑤ 因为a=1s(2s-1)>0,且s>0,所以s>12. 设函数F(x)=x-12x-1-ln x,x∈12,+∞, 则F'(x)=-(4x-1)(x-1)x(2x-1)2. 令F'(x)=0,解得x=1或x=14(舍). 当x变化时,F'(x)与F(x)的变化情况如下表所示: x 12,1 1 (1,+∞) F'(x) + 0 - F(x) ↗ 极大值 ↘ 所以当x=1时,F(x)取得最大值,为F(1)=0, 所以方程⑤有且仅有一个解s=1. 于是t=ln s=0, 因此切点P的坐标为(1,0 ... ...