第六节 导数的综合应用(二) A组 基础题组 1.(2019安徽黄山一模)已知函数f(x)=m-2ln x(m∈R),g(x)=-,若至少存在一个x0∈[1,e],使得f(x0)
0,解得a>-e2,所以此时-e20). (1)若k=1,求f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数k的值. 解析 (1)k=1, f(x)=x-ln x,定义域为(0,+∞),则f '(x)=1-,由f '(x)>0得x>1,由f '(x)<0得00), 令g(x)=(x>0),则g'(x)=, 当x=e时,g'(x)=0;当00; 当x>e时,g'(x)<0. ∴g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减. ∴g(x)max=g(e)=. 当x→+∞时,g(x)→0. 又k>0,∴要使f(x)有且只有一个零点,则k=. 解法二:f(x)=kx-ln x, f '(x)=k-=(x>0,k>0). 当x=时, f '(x)=0;当0时, f '(x)>0. ∴f(x)在上单调递减,在上单调递增, ∴f(x)min=f=1-ln,∵f(x)有且只有一个零点, ∴1-ln=0,即k=. 4.函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R)的导函数的图象如图所示: (1)求a,b的值并写出f(x)的单调区间; (2)若函数y=f(x)有三个零点,求c的取值范围. 解析 (1)因为f(x)=x3+ax2+bx+c, 所以f '(x)=x2+2ax+b. 由题图知f '(x)=0的两个根为-1,2, 所以解得a=-,b=-2, 由导函数的图象可知,当-12时, f '(x)>0, 故函数f(x)在(-∞,-1)和(2,+∞)上单调递增,在(-1,2)上单调递减. (2)由(1)得f(x)=x3-x2-2x+c, 函数f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上是增函数,在(-1,2)上是减函数, 所以函数f(x)的极大值为f(-1)=+c,极小值为f(2)=c-. 而函数f(x)恰有三个零点,故必有解得-0), 当a<0时, f '(x)>0恒成立, ∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. 当a>0时,由f '(x)=>0,得x>, 由f '(x)=<0,得00时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减. (2)∵当x∈时,函数g(x)=(ln x-1)ex+x-m的零点, 即当x∈时,方程(ln x-1)ex+x=m的根. 令h(x)=(ln x-1)ex+x,h'(x)=ex+1. 由(1)知当a=1时, f(x)=ln x+-1在上单调递减,在(1,e)上单调递增, ∴当x∈时, f(x)≥f(1)=0. ∴+ln x-1≥0在x∈上恒成立. ∴h'(x)=ex+1≥0+1>0, ∴h(x)=(ln x-1)ex+x在x∈上单调递增. ∴h(x)min=h=-2+,h(x)max=h(e)=e. ∴当m<-2+或m>e时,函数g(x)在上没有零点; 当-2+≤m≤e时,函数g(x)在上有一个零点. 2.(2019河南开封定位考)已知函数f(x)=aln x+-bx+1. (1)当a=0时,函数f(x)的极小值为5,求负数b的值; (2)若b=-1,F(x)=f(x)-,且当a≥-4时,不等式F(x)≥2在区间[1,4]上有解,求实数a的取值范围. 解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞). 当a=0时, f( ... ... 