3.2.2 函数模型的应用实例 1.会利用已知函数模型解决实际问题. 2.能建立函数模型解决实际问题. 3.了解利用拟合函数模型解决实际问题. 函数模型的应用 (1)用已知的函数模型刻画实际问题; (2)建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关现象,对某些发展趋势进行预测,其基本过程如图所示: 名师点拨巧记函数建模过程: 收集数据,画图提出假设; 依托图表,理顺数量关系; 抓住关键,建立函数模型; 精确计算,求解数学问题; 回到实际,检验问题结果. 【做一做1】 一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,那么图象所对应的函数模型是( ) A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 答案:A 1.常用的函数模型 剖析:在实际问题中,常用的函数模型如下表所示: 2.在应用题中列出函数解析式的三种方法 剖析:解答应用题的实质是要转化题意,寻找所给条件中含有的相等关系,用等式把变量联系起来,然后再整理成函数的解析式的形式.常用的方法有: (1)待定系数法:若题目给出了含参数的函数关系式,则可用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,从而得到确定的函数解析式. (2)归纳法:先让自变量x取一些特殊值,计算出相应的函数值,从中发现规律;再推广到一般情形,从而得到函数解析式. (3)方程法:用x,y表示自变量及其他相关的量,根据问题的实际意义,运用掌握的数学、物理等方面的知识,列出关于x,y的二元方程;把x看成常数,解方程得y(即函数关系式),此种方法形式上和列方程解应用题类似,故称为方程法. 题型一 题型二 题型三 题型四 【例1】 灌满开水的热水瓶放在室内,如果瓶内开水原来的温度是θ1 ℃,室内气温是θ0 ℃,t min后,开水的温度可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得,这里,k是一个与热水瓶类型有关的正的常量.现有一只某种类型的热水瓶,测得瓶内水温为100 ℃,过1 h后又测得瓶内水温变为98 ℃.已知某种奶粉必须用不低于85 ℃的开水冲调,现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满100 ℃的开水,问:能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉(假定该地白天室温为20 ℃)? 分析:先用待定系数法来确定k的值,然后根据给出的时间列出方程,解出水的温度,并与85 ℃相比,若高于这个温度,该热水瓶的水就可以用,否则不可以用. 题型一 题型二 题型三 题型四 利用计算器,解得k≈0.000 422. 故θ=20+80e-0.000 422t. 从早上六点至中午十二点共6 h,即360 min. 当t=360时,θ=20+80e-0.000 422×360=20+80e-0.151 92.由计算器算得θ≈89 ℃>85 ℃,即能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调奶粉. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 某种病毒经30 min繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k= ?,经过5 h,1个病毒能繁殖为 ?个.? 解析:当t=0.5时,y=2, ∴当t=5时,y=22×5=1 024. 答案:2ln 2 1 024 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思当实际应用题中没有给出函数模型时,其解题步骤是: 第一步:认真读题,缜密审题,确切理解题意,明确问题的实际背景,找出题意中所蕴含的函数关系; 第二步:恰当地设未知数,列出函数解析式,将实际问题转化成函数问题,即实际问题函数化; 第三步:运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题,得出函数问题的解; 第四步:将所得函数问题的解还原成实际问题的结论,要注意检验所得的结论是否符合实际问题的意义. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 【例3】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料,如下表所示. 题型一 题型二 ... ...
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