山西省忻州市静乐一中2019届高三下学期第三次月考 数学试卷（理） 一．选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分. 在每小题的四个选项中只有一个选项是正确的.） 已知全集则（ ） A. B. C. D. 2.设复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3.某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（ ） A. B. C. D. 4.已知定义在上的奇函数满足：当时，则( ) A. B. C. 3 D. 5.几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ） A. B. C. D. 6.等差数列的前项和为，若则( ) A. 152 B. 154 C. 156 D. 158 7.在中,则在方向上的投影为 ( ) A. 4 B. 3 C. 4 D. 5 8.已知函数,若则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9.执行右面所示的程序框图,则输出的值是（ ） A. 5 B. 7 C.9 D. 11 10.如右下图，在正方体中，点分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连接和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 11.函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于点则方程所有解的和为（ ） A. B. C. D. 12.过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为延长交曲线于点其中有一个共同的焦点，若则曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 13.若实数满足则的最小值为 . 14.将多项式分解因式得为常数，若，则 . 如图所示，阴影部分是由曲线和圆及轴围成的封闭图形.在圆内随机取一点，则此点取自则阴影部分的概率为 . 设锐角三个内角所对的边分别为,若则的取值范围为 ． 三.解答题(本大题共5小题,共70分.) 17. (本小题满分12分) 已知数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）令，为的前项和，求证：. 18. (本小题满分12分) 如图，在四棱锥中，，底面四边形为直角梯形，为线段上一点. (1)若，则在线段上是否存在点，使得平面?若存在，请确定点 的位置；若不存在，请说明理由 (2)己知，若异面直线与成角，二面角的余弦值为 ，求的长. 19．(本小题满分12分) 2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图． 求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差 (同一组中的数据用该 组区间的中间值代表)； 由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． 一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若 ．利用直方图得到的正态分布，求. (ii)从该高校的学生中随机抽取20名，记表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的 人数，求(结果精确到0.0001)以及的数学期望． 参考数据： 20. (本小题满分12分) 已知点是动点，且直线和直线的斜率之积为． (1)求动点的轨迹方程； (2)设直线与（1）中轨迹相切于点，与直线相交于点且求证： 21. (本小题满分12分) 已知函数 （1）当时，取得极值，求的值并判断是极大值点还是极小值点； （2）当函数有两个极值点且时，总有成立，求的取值范围． 请考生在22～23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分) 在极坐标系中，曲线的方程为，点. （1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线的极坐标方程 化为直角坐标方程，点的极坐标化为直角坐标； （2）设为曲线上一动点，以为对角线的矩形的一边垂直于极轴，求矩形 周长的最小值及此 ... ...
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