正弦定理 【学习目标】 1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律； 2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题； （1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）. 【要点梳理】 要点一、学过的三角形知识 1.中 （1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、、； （2）； （3）大边对大角，大角对大边，即； 等边对等角，等角对等边，即； （4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，. 2.中，， （1）， （2） （3），，； ，， 要点二、正弦定理及其证明 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： 直角三角形中的正弦定理的推导 证明：， ， ， 即：，，， ∴． 斜三角形中的正弦定理的推导 证明： 法一：向量法 （1）当为锐角三角形时 过作单位向量垂直于，则+= 两边同乘以单位向量，得(+)=， 即 ∴， ∵，，，，， ∴， ∴， 同理：若过作垂直于得： ∴， （2）当为钝角三角形时 设，过作单位向量垂直于向量， 同样可证得：． 法二：构造直角三角形 （1）当为锐角三角形时 如图，作边上的高线交于，则: 在中, ，即， 在中, ,即, ∴，即. 同理可证 ∴ （2）当为钝角三角形时 如图，作边上的高线交于，则: 在中, ，即， 在中, ,即, ∴，即. 同理可证 ∴ 法三：圆转化法 （1）当为锐角三角形时 如图，圆O是的外接圆，直径为，则， ∴， ∴（为的外接圆半径） 同理：， 故： （2）当为钝角三角形时 如图，. 法四：面积法 任意斜中，如图作，则 同理：， 故， 两边同除以 即得： 要点诠释： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一。 （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 要点三、解三角形的概念 一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角. 在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形. 有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角. 要点四、正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 要点诠释： 已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况； (1)若A为锐角时： 如图： / (2)若A为直角或钝角时： 判断三角形形状 判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角是否相等？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等 要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解. 【典型例题】 类型一：正弦定理的简单应用： 例1．已知在中，，，，求和B. 【解析】， ∴， ∴ ， 又， ∴． 【总结升华】 1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题； 2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
