23.4 中位线 课件（23张PPT）

课件23张PPT。第23章 图形的相似23.4 中位线三角形的中位线 三角形的重心 中点四边形 在23.3节中，我们曾得到如下结论: 如图, 在△ABC中，DE//BC，则△ADE∽△ABC. 在推理过程中，我们由DE∥BC推得 那么当点D是AB的中点时，利用该比例式容易推知点 E也是AC的中点，并且 现在换一个角度考虑，如果已知点D、E分别是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE//BC? DE与BC之间又存在怎样的数量关系呢？画画看，你能有什么猜想？1知识点三角形的中位线猜 想如图，在△ABC中，点D、E分别是 AB与AC 的中点.根据画出的图形， 可以猜想： DE // BC,且DE = BC. 对此，我们可以用演绎推理给出证明.在△ABC中， ∵点D、E分别是AB与AC的中点， ∴ ∵∠A=∠A, ∴△ADE∽△ABC ∵∠ADE = ∠ABC, ∴证明：1. 三角形中位线的定义： 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．一个三角形共有3条中位线. 易错警示：三角形的中位线要与三角形的中线严格区别开来，三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段，而三角形的中线是三角形的顶点与对边中点的连线． 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 拓展：由三角形三条中位线组成的三角形与原三角形相似，它的周长等于原三角形周长的 ，面积等于原三角形面积的 例1 如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC 的中点，若BC＝6 cm，则DE的长为_____．直接根据三角形的中位线定理 解答即可．因为D，E分别是边 AB，AC的中点， 所以DE是△ABC的中位线， 所以DE＝ BC＝ ×6＝3(cm)． 3cm导引：证明：连结DE、EF. ∵AD = DB,BE = EC, ∴DE//AC(三角形的中位线平行于第 三边，并且 等于第三边的一半). 同理可得EF//BA. ∴四边形ADEF是平行四边形. ∴ AE、DF互相平分.例2 求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相 平分. 已知：如图, 在 △ABC 中，AD =DB， BE=EC, AF = FC. 求证：AE、DF互相平分. 三角形的中位线定理是证明两条线段倍分关系的重要依据．当已知线段的中点求某条线段的长度时，通常要考虑运用三角形的中位线定理解答．如图，以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2 如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是(　　) A．15° B．20° C．25° D．30°2知识点三角形的重心如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的 中点，AD、CE相交于点G.求证：例3证明：连结ED. ∵D、E分别是边BC、AB的中点， ∴DE//AC ， (三角形的中位线平行于第 三边，并且等于第三边的一半). ∴△ACG∽△DEG, ∴三角形的重心的定义：三角形的重心是三角形三 条中线的交点． 三角形重心的性质：三角形的重心与一边中点的 连线的长是对应中线长的 例4 如图所示，在△ABC中，G为重心，连结AG并延长，交 边BC于点D，若△ABC的面积为6 cm2，则△BGD的面 积为_____．导引： 由点G为△ABC的重心可知AD为 BC边上的中线，且DG＝ AD， 故S△ABD＝ S△ABC＝3 cm2， 由△BGD与△ABD同高不等底易 得 故S△BGD＝ S△ABD＝ ×3＝1(cm2)．1cm2 已知三角形的重心求线段的长度或比值时，要准确把握以下几点： 三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线 长的 (2) 重心与三角形一个顶点的连线的长是对应中线长 的 (3) 重心分中线所成两条线段的比为2∶1.如图所示，已知点E、F分别是△ABC的边AC、AB的中点，BE、CF相交于点G，FG＝1，则CF 的长为(　　) A．2 B．1.5 C．3 D．42 给出以下判断： (1) 线段的中点是线段的重心； (2) 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角 形的重心； (3) 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点； (4) 三角形的重心是它的中线的一个三等分点． 那么 ... ...