人教版高中数学文科选修1-2同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：44【基础】直接证明与间接证明（文）

直接证明与间接证明 【学习目标】 1. 掌握用综合法证题的思路和特点。 2. 掌握用分析法证题的思路和叙述方式． 3．掌握间接证明中的常用方法———反证法的思维过程和特点． 【要点梳理】 要点一、综合法证题 1．定义： 一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法. 2．综合法的的基本思路：执因索果 综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是由已知走向求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后导出待证结论或需求的问题． 综合法这种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法． 3．综合法的思维框图： 用/表示已知条件，/为定义、定理、公理等，/表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： / （已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论） 要点诠释 （1）从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件； （2）用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹； （3）因用综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为： / 故要从A推理到D，由A推演出的中间结论未必唯一，如B、B1、B2等，可由B、B1、B2进一步推演出的中间结论则可能更多，如C、C1、C2、C3、C4等等． 所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”． 4．综合法证明不等式时常用的不等式 （1）a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）； （2）/（a，b∈R*，当且仅当a=b时取“=”号）； （3）a2≥0，|a|≥0，(a－b)2≥0； （4）/（a，b同号）；/（a，b异号）； （5）a，b∈R，/， （6）不等式的性质 定理1 对称性：a＞b/b＜a。 定理2 传递性：/。 定理3 加法性质：/。 推论 /。 定理4 乘法性质：/。 推论1 /。 推论2 /。 定理5 开方性质：/。 要点二、分析法证题 1．定义： 一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法. 2．分析法的基本思路：执果索因 分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 分析法这种执果索因的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法。 3．分析法的思维框图： 用/表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，/所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为： / （结论） （逐步寻找使结论成立的充分条件） （已知） 4．分析法的格式： 要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。 要点诠释： （1）分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件． （2）由于分析法是逆推证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表述． 5．综合法与分析法的横向联系 （1） 综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用． 分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是宜于表述，条理清晰，形式简洁． 我们在证明不等式时，常用分析法寻找解题 ... ...