高考数列培优（解析）

数列版块 目录 TOC \o "1-3" \h \z \u 问题一：等差数列、等比数列的证明问题 1 问题二：数列中的最值问题 16 问题三：由复杂递推关系求解数列的通项公式问题 31 问题四：如何顺畅求解复杂数列的求和问题 45 问题五：数列与不等式的相结合问题 60 问题六：数列中探索性问题 79 问题一：等差数列、等比数列的证明问题 翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，主要证明方法有：利用等差、等比数列的定义、运用等差或等比中项性质、反证法、利用通项公式与前项和公式，证明或判断等差（等比）数列即数学归纳法. 题型一：利用等差（等比）数列的定义 用定义法判断一个数列是等差数列，常采用的两个式子和有差别，前者必须加上“”，否则时无意义；在等比数列中一样有：时，有（常数）；②时，有（常数）． 【例1】【2016届广西河池高中高三上第五次月考】在数列中，． （Ⅰ）证明数列成等比数列，并求的通项公式； （Ⅱ）令，求数列的前项和． 【分析】（Ⅰ）根据已知等式结合等比数列的定义证明，从而求得；（Ⅱ）先求得的表达式，再用错位相减法求得． 【解析】（Ⅰ）由条件得，又时，， 故数列构成首项为1，公比为的等比数列． 从而，即． （Ⅱ）由得， 两式相减得：， 所以． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 【点评】证明数列成等比数列的关键是对已知条件两边同除以，构造. 【小试牛刀】【2016届安徽省马鞍山二中等高三第三次联考】已知数列满足． （1）求证：为等比数列，并求出的通项公式； （2）若，求的前n项和． 【答案】（1）；（2）． 题型二：运用等差或等比中项性质 是等差数列，是等比数列，这是证明数列为等差（等比）数列的另一种主要方法．[] 【例2】正数数列和满足：对任意自然数成等差数列，成等比数列．证明：数列为等差数列． 【证明】依题意，，且， ． ． 由此可得．即． 数列为等差数列． 【点评】本题依据条件得到与的递推关系，通过消元代换构造了关于的等差数列，使问题得以解决．通过挖掘的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算． 【小试牛刀】设数列的前项为，已知，且其中为常数． （Ⅰ）求与的值； （Ⅱ）证明数列为等差数列． 【解析】（Ⅰ）由，得． 把分别代入 ，得 解得，，． 题型三：反证法 解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．如： 【例3】设是公比不相等的两等比数列，．证明数列不是等比数列． 【点评】本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力，对逻辑思维能力有较高要求．要证不是等比数列，只要由特殊项（如）就可否定．一般地讲，否定性的命题常用反证法证明，其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性?．?? 【小试牛刀】 设{an}是公比为q的等比数列． （Ⅰ）推导{an}的前n项和公式； （Ⅱ）设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列． 【解析】（Ⅰ）设{an}的前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1； 当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，② ①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn， ∴Sn＝，∴Sn＝ （Ⅱ）假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N ， (ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)， a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1， aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1， ∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1. ∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾． ∴假设不成立， ∴{an＋1}不是等比数列． 【点评】证明一个数列不是等差数列或等比数列，有时也可假设前三 ... ...