函数的最值与值域 【考纲要求】 1. 会求一些简单函数的定义域和值域； 2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义； 3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值. 【知识网络】 1 【考点梳理】 考点一、函数最值的定义 1.最大值：如果对于函数定义域内的任意一个自变量，存在，使得成立，则称是函数的最大值． 注意：下面定义错在哪里？应怎样订正． 如果对于函数定义域内的任意一个自变量，都有，则称是函数的最大值． 2.最小值的定义同学们自己给出． 考点二、函数最值的常用求法 1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围． 2.判别式法：主要适用于可化为关于的二次方程，由（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的的值． 3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换． 4.不等式法：利用均值不等式求最值． 5.利用函数的性质求函数的最值 6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法 7.利用导数求函数的最值。 要点诠释： (1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2)一些能转化为最值问题的问题: 在区间D上恒成立/函数 在区间D上恒成立/函数 在区间D上存在实数/使/函数 在区间D上存在实数/使/函数 【典型例题】 类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值 例1.求函数的最值． 【解析】 令（注意的范围），这样所求函数就变为二次函数． 【总结升华】当式子中同时出现和时，都可以化为二次式． 举一反三： 【变式】求函数的值域． 解：平方再开方，得 类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值 例2. 求下列函数值域： (1)； ① x∈[5，10]； ②x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3； ①x∈[-1，1]； ②x∈[-2，2]. 【解析】(1)2个单位， 再上移2个单位得到，如图 / ①f(x)在[5，10]上单增，； ②； (2)画出草图 / ①y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]； ②. 举一反三： 【变式】已知函数. (1)判断函数f(x)的单调区间； (2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域. 【解析】(1) 上单调递增，在上单调递增； (2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增 ∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值 ∴x∈[1，3]时f(x)的值域为. 例3. （2016 北京高考）已知A（2，5），B（4，1）.若点P（x，y）在线段AB上，则2x?y的最大值为 （A）?1 （B）3 （C）7 （D）8 答案：C 【解析】由题意得，AB: ，当x=4时等号成立，即2x-y的最大值为7，故选C. 举一反三： 【变式】设函数则的值为（ ） A． B． C． D． 答案：A 【解析】∵， ∴. 类型三、含参类函数的最值与值域问题 例4（2015 沈阳四模）函数在上的最大值为2，则的范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】先画出分段函数的图像如图: 显然当时，函数的最大值为2；欲使得函数在上的最大值为2，则当时，的值必须小于等于2，即解得：.故选D. 【变式】（2014 甘肃一模）若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】函数，在上为减函数 当时，的最小值为; 又，当且仅当时等号成立 所以函数在区间上为增函数 可得时，的最大值为. 因为不等式在上恒成立 所以即可得的取值范围是. 【巩固练习】 1．关于的方程有解，则实数的取值范围是（ ） A．（-∞，-8]∪[0，+∞） B、（-∞，-4） C.[-8，4） D、（-∞，-8] 2.（2015 唐山一模）直线分别与曲线，交于A、B,则的最小值为（） A.3 B.2 C. D. 3．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C．或 D. 或 4. 已知函数,,若f(2)·g(2)<0，则f(x)与g ... ...
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