正弦、余弦的图象和性质 【考纲要求】 1、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图；熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性及其最值；理解周期函数和最小正周期的意义. 2、理解正弦函数、余弦函数在区间的性质（如单调性、最大和最小值、与轴交点等）,理解正切函数在区间的单调性. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、“五点法”作图 在确定正弦函数在上的图象形状时，最其关键作用的五个点是，，，， 考点二、三角函数的图象和性质 名称 定义域 值 域 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 单调增区间: () 单调减区间: ) 单调增区间: () 单调减区间: () () 单调增区间： () 周期性 对 称 性 对称中心: , 对称轴: ， 对称中心:, 对称轴: , 对称中心:, 对称轴：无 最 值 时，； 时， 时，； 时， 无 要点诠释： ①三角函数性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大值和最小值、对称性等，要结合图象记忆性质，反过来，再利用性质巩固图象．三角函数的性质的讨论仍要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性、单调性及周期性都要考虑函数的定义域． ②研究三角函数的图象和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题. 考点三、周期 一般地，对于函数，如果存在一个不为0的常数,使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）. 要点诠释： 应掌握一些简单函数的周期： ①函数或的周期； ②函数的周期； ③函数的周期； ④函数的周期. 【典型例题】 类型一、定义域及值域 例1. 求下列函数的值域： （1） （2） （3） （4） 【思路点拨】（1）（4）利用两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的性质求出函数的最大值及最小值，注意自变量的取值范围. （2）根据角的范围得出sinx的范围，运用换元配方后求出y的最大值及最小值，进而得出函数的值域．（3）解析式利用二倍角的正弦公式化简后求值域； 【解析】（1）∵， ∴， 当，即时，；当，即时，， ∴. （2）， 令：，则 ∵为增函数； ∴. （3）根据可知， 故函数的值域为. （4）， 由知，由正弦函数的单调性可知， 故函数的值域为. 【总结升华】①形如或，可根据的有界性来求最值；②形如或可看成关于的二次函数，但也要注意它与二次函数求最值的区别，其中；③形如可化为（其中）的形式来确定最值. 举一反三： 【变式1】已知且，求函数的值域. 【解析】,且，且， 由正切函数的单调性可知或， 故函数的值域为. 【变式2】已知的定义域为，求的定义域. 【解析】∵中，∴中， 解得， ∴的定义域为：. 【变式3】求函数的最大值及相应的的值． 【解析】若，当，时，函数有最大值； 若，当，时，函数有最大值． 【变式4】函数的值域是 ． 【解析】∵，∴， 显然，∴，由解得， 故值域是． 【高清课堂：正余弦函数的图象和性质397862 例3】 例2.已知函数. （Ⅰ）若，求的值； （II）设，求函数在区间上的最大值和最小值. 【思路点拨】（1）注意到所求角和已知角的关系，用二倍角公式来处理；（2）先求出的解析式，再运用求最值的方法解决. 【解析】（Ⅰ）∵， ∴ （II） ∵，∴ ∴当即时， 当即时， 【总结升华】先通过倍角公式和两角的和、差公式进行化简，利用余弦函数的单调性可知函数的最值. 举一反三： 【变式1】已知函数（）的最大值为，最小值为，求函数 的最大值和最小值. 【解析】（） 当时，， ① 当时，， ② 由①②得， ∴， 所以，当时，，当时，． 【变式2】 已知函数的定义域是，值域是，求常数． 【解析】 ∵，∴， ∴， 若，则当时函数取得最大值，当时 ... ...
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