抛物线 【考纲要求】 1.了解抛物线图形的实际背景及形成过程； 2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质； 3.掌握抛物线的简单应用； 4.理解解析几何中数形结合思想的运用. 【知识网络】 【考点梳理】 【抛物线及其性质知识要点】 考点一、抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 要点诠释： 标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离。p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件。参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程。 考点二、抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式：，，，. 要点诠释： （1）只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴条件时，才能得到抛物线的标准方程； （2）抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） （3）抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是. 一般情况归纳： 方程 图象的开口方向 焦点 准线 时开口向右 时开口向左 时开口向上 时开口向下 （4）用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（依据焦点的位置或开口方向），然后求一次项的系数. 考点三、抛物线的简单几何性质 抛物线标准方程的几何性质 1、范围：，， 抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 2、对称性：关于x轴对称 抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 3、顶点：坐标原点 抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。 4、离心率：. 抛物线y2=2px（p＞0）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。用e 表示，e=1。 5．抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。 因为通过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为2p。这就是抛物线标准方程中2p的一种几何意义。另一方面，由通径的定义我们还可以看出，P刻画了抛物线开口的大小，P值越大，开口越宽；P值越小，开口越窄． 【典型例题】 类型一：抛物线的标准方程 例1.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： （1）过点； （2）焦点在直线：上 【思路点拨】从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论 【解析】（1）∵点在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左 当抛物线开口方向左时， 设所求的抛物线方程为（）， ∵过点，∴， ∴，∴， 当抛物线开口方向上时， 设所求的抛物线方程为（）， ∵过点，∴， ∴，∴， ∴所求的抛物线的方程为或， 对应的准线方程分别是，. （2）令得，令得， ∴抛物线的焦点为或 当焦点为时，，∴， 此时抛物线方程； 焦点为时，，∴， 此时抛物线方程为 ∴所求的抛物线的方程为或， 对应的准线方程分别是，. 【总结升华】这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参 ... ...
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