正态分布 【学习目标】 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。 了解正态曲线与正态分布的性质。 【要点梳理】 要点诠释： 要点一、概率密度曲线与概率密度函数 1．概念： 对于连续型随机变量/，位于/轴上方，/落在任一区间（a，b]内的概率等于它与/轴、直线/与直线/所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分），这条概率曲线叫做/的概率密度曲线，以其作为图象的函数/叫做/的概率密度函数。 / 2、性质： ①概率密度函数所取的每个值均是非负的。 ②夹于概率密度的曲线与/轴之间的“平面图形”的面积为1 ③/的值等于由直线/，/与概率密度曲线、/轴所围成的“平面图形”的面积。 要点二、正态分布 1.正态变量的概率密度函数 正态变量的概率密度函数表达式为：/，（/） 其中x是随机变量的取值；μ为正态变量的期望；/是正态变量的标准差. 2．正态分布 （1）定义 如果对于任何实数/随机变量/满足：/， 则称随机变量/服从正态分布。记为/。 （2）正态分布的期望与方差 若/，则/的期望与方差分别为：/，/。 要点诠释： （1）正态分布由参数/和/确定。 参数/是均值，它是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值去估计。/是 标准差，它是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计。 （2）经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布． 在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布． 要点三、正态曲线及其性质： 1. 正态曲线 如果随机变量X的概率密度函数为/，其中实数/和/为参数（/），则称函数/的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。 /// 2．正态曲线的性质： ①曲线位于/轴上方，与/轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线/对称； ③曲线在/时达到峰值/； ④当/时，曲线上升；当/时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近. ⑤曲线与/轴之间的面积为1； ⑥/决定曲线的位置和对称性； 当/一定时，曲线的对称轴位置由/确定；如下图所示，曲线随着/的变化而沿/轴平移。 / ⑦/确定曲线的形状； 当/一定时，曲线的形状由/确定。/越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；/越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。如下图所示。 / 要点诠释： 性质①说明了函数具有值域（函数值为正）及函数的渐近线（x轴）．性质②并且说明了函数具有对称性；性质③说明了函数在x=/时取最值；性质⑦说明/越大，总体分布越分散，/越小，总体分布越集中． 要点四、求正态分布在给定区间上的概率 随机变量取值的概率与面积的关系 若随机变量ξ服从正态分布/，那么对于任意实数a、b（a＜b），当随机变量ξ在区间（a，b]上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线x=a，x=b以及x轴所围成的图形的面积相等．如图（1）中的阴影部分的面积就是随机变量孝在区间（a，b]上取值的概率． / 一般地，当随机变量在区间（－∞，a）上取值时，其取值的概率是正态曲线在x=a左侧以及x轴围成图形的面积，如图（2）．随机变量在（a，+∞）上取值的概率是正态曲线在x=a右侧以及x轴围成图形的面积，如图（3）． 根据以上概率与面积的关系，在有关概率的计算中，可借助与面积的关系进行求解． 2、正态分布在三个特殊区间的概率值： /； /； /。 上述结果可用下图表示： / 要点诠释： 若随机变量/服从正态分布/，则/落 ... ...
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