解三角形应用举例 第四课时 （1）教学目标 (a)知识和技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用 (b)过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点，。 (c)情感与价值：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验 （2）教学重点、教学难点 教学重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题 （3）学法与教学用具 正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式。同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯。 直角板、投影仪 （4）教学设想 设置情境 师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在 ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？ 生：h=bsinC=csinB h=csinA=asinC h=asinB=bsinaA 师：根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？ 生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB 师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？ 生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解 新课讲授 例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm） （1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5; （2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm; （3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。 解：（1）应用S=acsinB，得 S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm) (2)根据正弦定理， = c = S = bcsinA = b A = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5 S = 3.16≈4.0(cm) (3)根据余弦定理的推论，得 cosB = = ≈0.7697 sinB = ≈≈0.6384 应用S=acsinB，得 S ≈41.438.70.6384≈511.4(cm) 例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？ 师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？ 生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。 由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。 解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论， cosB= =≈0.7532 sinB=0.6578 应用S=acsinB S ≈681270.6578≈2840.38(m) 答：这个区域的面积是2840.38m。 例3、在ABC中，求证： （1） （2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC） 分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明 证明：（1）根据正弦定理，可设 = = = k 显然 k0，所以 左边= ==右边 （2）根据余弦定理的推论， 右边=2(bc+ca+ab) =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c) =a+b+c=左边 变式练习1：已知在ABC ... ...
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