中小学教育资源及组卷应用平台 学案 单调性应用 一、已知单调性求字母参数 例1、(1)．函数f（x）＝x2﹣mx+5在区间[﹣2，+∞）上是增函数，在区间（﹣∞，﹣2）上是减函数，实数m的值等于（ ） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣4 （2）如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是_____ （3）若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，求a的取值范围_____ （4）若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是___ （5）已知函数f(x)＝(m≠1)在区间(0,1]上是减函数，则实数m的取值范围是___ 二、抽象函数单调性 例2、已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0. (1)求：（1）f(1)的值； (2)证明：f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数； (3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值． 例3、设函数y＝f（x）是定义在上的函数，并且满足下面三个条件；①对任意正数x，y，都有f（xy）＝f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）＝﹣1． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）证明f（x）在是减函数； （Ⅲ）如果不等式f（x）+f（2﹣x）＜2成立，求x的取值范围． 例4、已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②当x＞0时，f(x)＞－1. (1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数． (2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4. 例5、对任意x，y满足f（x+y）＝f（x）f（y），且f（x）恒不为0 （1）证明：f（x）＞0（2）当x＞0，f（x）＞1，证明凼数f（x）单调递增． 答案 例1、(1)解：∵函数f（x）＝x2﹣mx+5在区间[﹣2，+∞）上增函数，在区间（﹣∞，﹣2]上是减函数，∴直线x＝﹣2是函数的图象的对称轴即﹣2＝，解处m＝﹣4故选：D． （2）答案 解析 当a＝0时，f(x)＝2x－3在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增， 所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0. 综上，实数a的取值范围是. （3）f（x）＝＝＝； 若f（x）在（﹣2，+∞）上为增函数，根据反比例函数的单调性得： 1﹣2a＜0；∴；∴a的取值范围为：（，+∞）． （4）答案： 解析：由题意知，解得所以a∈. （5）答案 (－∞，0)∪(1,4] 解析 由题意可得4－mx≥0，x∈(0,1]恒成立，所以m≤min＝4.当00，解得10，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0. (2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1. 由于当x>1时，f(x)<0，所以f()<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)
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