中小学教育资源及组卷应用平台 高三专题2—三角函数值域 一、基础知识 1、形如解析式的求解：详见“函数解析式的求解”一节，本节只列出所需用到的三角公式 （1）降幂公式： （2） （3）两角和差的正余弦公式 （4）合角公式：，其中 2、常见三角函数的值域类型： （1）形如的值域：使用换元法，设，根据的范围确定的范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出的三角函数值，进而得到值域 例：求的值域 解：设 当时， （2）形如的形式，即与的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即可 例：求的值域 解： 设 ，即的值域为 （3）含三角函数的分式，要根据分子分母的特点选择不同的方法，通常采用换元法或数形结合法进行处理（详见例5，例6） 二、典型例题 例1：已知向量 （1）求函数的单调递增区间 （2）当时，求的取值范围 解：（1） 单调递增区间为： （2）思路：由（1）可得：，从得到角的范围，进而求出的范围 解：由（1）得： 例2：已知函数 （1）求函数的最小正周期和图像的对称轴方程 （2）求函数在区间的值域 解：（1） 对称轴方程： （2）思路：将视为一个整体，先根据的范围求出的范围，再判断其正弦值的范围 解： 例3：函数的最大值为_____ 思路：解析式中的项种类过多，不利于化简与分析，所以考虑尽量转化为同一个角的某一个三角函数。观察可得次数较低，所以不利于转化，而均可以用进行表示，确定核心项为，解析式变形为，化简后为，当时， 答案：2 例4：设函数，若，则函数的最小值是_____ 思路：同例4考虑将解析式中的项统一，，进而可将作为一个整体，通过换元来求值域。 解： 设，由可得：，从而 ，所以 所以最小值为 答案：0 例5：函数的值域为_____ 思路：可将视为研究对象，令，进而只需求的值域即可。 解：令，可得 答案： 例6：函数的值域为_____ 思路：可变形为，且可视为与连线的斜率的取值范围，为单位圆上的一点，所以问题转化为直线与圆有公共点的的范围。所以，解得：或，所以 答案： （2）本题还可利用方程与函数的关系求得值域，解法如下： 所以的取值范围（即值域）要能保证存在使得等式成立 所以只需 ，解得： 例7：设函数的值域是，则实数的取值范围是_____ 思路：本题是已知值域求参数，所以考虑先带着计算角的范围为， 可知，值域中最大值为1，所以说明经过，同时范围不能超过（否则最小值就要小于），从而可得，解得： 答案： 例8：已知函数的最大值为，且，则 （ ） A. B. C. 或 D. 或 思路：观察到的项具备齐二次的特点，所以想到将解析式化为的形式，通过变形可得：，所以最大值为，即①，再利用可得：②，通过①②可解得：，进而求出的值为或 解： 所以可得： 另一方面： 整理可得： ，解得： 当时， 当时， 的值为或 例9：当时，函数的最小值为_____ 思路一：考虑将所有项转变为关于的三角函数，即，从而想到分式与斜率的关系，可视为，结合可得为单位圆半圆上的点，通过数形结合可得：最小值为4 思路二：考虑将所有项转变为关于的三角函数，则，观察到分子分母为齐二次式，从而上下同时除以，可得：，因为，所以，所以利用均值不等式可得： 答案：4 例10：求函数的值域 思路：本题很难转化为同名三角函数解析式，解题的关键在于了解与之间的联系：，从而将解析式的核心变量转化为，通过换元求出值域即可 解： 因为 时， 当时， 所以可得：的值域为 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com) ... ...
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