目 录 第八讲 二次函数与圆综合 1 第十讲 全等和相似三角形的存在性问题（一） 17 第十一讲 全等和相似三角形的存在性问题（二） 30 第十二讲 角度和角度关系的存在性问题 46 第十三讲 距离的存在性问题（一） 64 第十四讲 距离的存在性问题（二） 81 第八讲 二次函数与圆综合 模块一：直线和圆的位置关系 1．直线和圆的位置关系判断 d、R法则：设圆心到直线的距离是d，圆的半径是R． ①当，直线和圆相离； ②当，直线和圆相切； ③当，直线和圆相交． 2．直线和圆相切 （1）圆和坐标轴相切：圆心到坐标轴的距离和半径相等． （2）圆和特殊的直线相切：圆心到直线的距离和半径相等． 注意：特殊直线是指倾斜角度为，，，，，，或者与两坐标轴平行的直线． （3）圆和一般的直线相切：圆心到直线的距离和半径相等． 模块二：二次函数和圆计算综合 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为，若将经过A、C两点的直线沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线． （1）求直线AC及抛物线的函数表达式； （2）如果P是线段AC上的一点，设三角形ABP、三角形BPC的面积分别为、，且，求点P的坐标； （3）设的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，则在运动的过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，与两坐标轴同时相切？ （1）因为沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点， 所以，，将代入， 得，解得．所以直线AC为： 因为抛物线的对称轴是直线， 所以，解得. 所以抛物线的函数表达式为：. （2）如图，过点B作于点D. 因为，所以. 过点P作轴于点E，则， 所以. 所以. 所以. 所以，解得. 所以点P的坐标为. （3）存在，设点Q的坐标为 ①当与y轴相切时，有，即. 当时，得，所以. 当时，得，所以， ②当与x轴相切时，有，即， 当时，得， 即，解得，所以 当时，得，即， 解得，所以， 综上所述，存在符合条件的，其圆心Q的坐标分别为，，，， 探究：设点Q的坐标为. 当与两坐标同时轴相切时，有. ①当时，得，即， 此时，所以次方程无解. ②当时，得，即. 解得. ∴当的半径为时，与两坐标同时轴相切. 【教师备课提示】这道题主要考查圆和坐标轴相切. 在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点. （1）求此抛物线的解析式； （2）以OA的中点M为圆心，OM的长为半径作，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作的切线l，且l与x轴的夹角为？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果保留根号） （1）设抛物线的解析式为， 由题意，得，解得. 所以抛物线的解析式为. （2）存在，抛物线 所以抛物线的顶点为，作抛物线和（如图） 设满足条件的切线l与x轴交于点B，与相切于点C. 连接MC，过点C作轴于点D. 因为，，， 所以，，. 所以，所以. 在中，，. 所以，. 所以. 设切线l的解析式为，则可得 ，解得. 所以切线BC的解析式为. 由题意，解得，. 所以点P的坐标为、. 因为抛物线和都关于直线对称， 则存在切线l关于对称的直线也满足条件. 同样得到满足的点P关于和对称，则得到、. 综上所述，这样的点P共有4个，、、、. 【教师备课提示】这道题主要考查圆和特殊的直线相切. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC交于点E，与x轴交于点F． （1）求直线BC的解析式． （2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心、r为半径作． ①当点P运动到点D时，若与直线BC相交，求r的取值范围； ②若，是否存在点P使与直线BC相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （1）抛物线中， 令，得，解得，； 令 ... ...
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