1.1.3 三个正数的算术几何平均数 一、教学目标 1．探索并了解三个正数的算术-几何平均不等式的证明过程． 2．会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值． 3．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点 会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值． 四、教学难点 会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题． 五、教学过程 （一）导入新课 已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy. 【证明】 因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥ 3>0,1＋x2＋y≥3>0， 故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy. （二）讲授新课 教材整理1 三个正数的算术-几何平均不等式 1．如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c3 3abc，当且仅当 时，等号成立． 2．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么 ，当且仅当 时，等号成立． 即三个正数的算术平均 它们的几何平均． 教材整理2 基本不等式的推广 对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均 它们的几何平均，即 ，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立． 教材整理3 利用基本不等式求最值 若a，b，c均为正数，①如果a＋b＋c是定值S，那么 时，积abc有 值；②如果积abc是定值P，那么当a＝b＝c时，和 有最小值． （三）重难点精讲 题型一、证明简单的不等式 例1 设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)2≥27. 【精彩点拨】 根据不等式的结构特点，运用a＋b＋c≥3，结合不等式的性质证明． 【自主解答】 ∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b＋c≥3>0， 从而(a＋b＋c)2≥9>0. 又＋＋≥3>0， ∴(a＋b＋c)2 ≥3·9＝27， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 规律总结： 1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a>0，b>0. (2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看． 2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致． [再练一题]1．设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)3≥81. 【证明】 因为a，b，c为正数， 所以有＋＋≥3＝＞0. 又(a＋b＋c)3≥(3)3＝27abc＞0， ∴(a＋b＋c)3≥81， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 题型二、用平均不等式求解实际问题 例2如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝k.这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？ 【精彩点拨】 根据题设条件建立r与θ的关系式，将它代入E＝k，得到以θ为自变量，E为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的最值． 【自主解答】 ∵r＝， ∴E＝k·. ∴E2＝·sin2θ·cos4θ ＝(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ ≤3＝， 当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号， 即tan2θ＝，tan θ＝时，等号成立． ∴h＝2tan θ＝，即h＝时，E最大．[来源:学+科+网] 因此选择灯的高度为米时，才能使桌子边缘处最亮． 规律总结： 1．本题的关键是在获得了E＝k·后，对E的函数关系式进行变形求得E的最大值． 2．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解． [再练一题] 2．制造容积为立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面的金属板的价格为每平方米30元，用来制作侧面的金属板的价格为每平方米20元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米？ 【解】 设圆柱形桶的底面半径为r米，高为h米，则底 ... ...
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