中小学教育资源及组卷应用平台 4.1—4.4拓展题训练 班级_____ 姓名_____ 得分_____ 1． 若b是a和c的比例中项，则关于x的一元二次方程ax2＋2bx＋c＝0的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【解析】解：∵b是a和c的比例中项， ∴b2＝ac， ∴Δ ＝4b2－4ac＝0， ∴此方程有两个相等的实数根． 选A． 2． 下列说法中，正确的是（ ） A．两个钝角三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似 C．两个直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似 【答案】D 3． 如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝acm，宽BC＝bcm，E，F分别是AB，CD的中点．将这张报纸沿着直线EF对折后，若矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a︰b等于（ ） A．︰1 B．1︰ C．︰1 D．1︰ 【答案】A 【解析】解：由题意，得b︰＝a︰b， ∴a︰b＝︰1． ∴选A． 4． 在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，则图中相似的三角形有（ ） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 【答案】D 5． 已知在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6． （1）如果DE＝10，那么当EF＝_____，FD＝_____时，△DEF∽△ABC． （2）如果DE＝10，那么当EF＝_____，FD＝_____时，△FDE∽△ABC． 【答案】（1）12.5；15．（2）12；8． 6． 若a2＋b2＝5ab，求的值． 【答案】解：∵a2＋b2＝5ab， ∴(a＋b)2＝7ab，(a－b)2＝3ab． ∵a2＋b2＞0， ∴ab＞0． ＝＝＝＝±． 7． 有一张矩形ABCD的长为4厘米，宽为3厘米．把这个矩形切成一个正方形和一个矩形，则新矩形的长和宽与原矩形的长和宽是不是成比例线段？并说明理由． 【答案】解：由题意，得＝，＝， ∵≠， ∴≠， 所以这四条线段不成比例． 8． 反比例函数y＝的图象上有一点(2，3)，过这点分别向x轴和y轴作垂线，得到两条垂线段，再在反比例函数图象上找一点P，并分别向x轴和y轴作垂线，得到两条垂线段，使这四条垂线段的长成比例线段．这样的点P能找到吗？能找到几个？ 【答案】解：设点P(x，y)，过点P分别向x轴，y轴作垂线得到的两条线段为|x|，|y|． 因为点(2，3)，点P(x，y)在反比例函数的图象上，所以2×3＝xy， 所以2×3＝|x|×|y|，故对于反比例函数y＝的图象上的每一点P，都使这四条线段成比例． 9． 已知：如图，A，C，E和B，F，D分别是∠O两边上的点，且AB∥ED，BC∥FE．求证：OA·OD＝OC·OF． 【答案】证明：∵AB∥ED， ∴＝， ∴OA·OD＝OE·OB． ∵BC∥FE， ∴＝， ∴OE·OB＝OC·OF． ∴OA·OD＝OC·OF． 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC，交AC于点E，CF∥AB，交DE的延长线于点F． （1）求证：DE＝EF． （2）连结CD，过点D作DC的垂线，交CF的延长线于点G．求证：∠B＝∠A＋∠DGC． 【答案】（1）证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点， ∴DC＝DA． ∵DE∥BC， ∴AE＝CE，∠A＝∠FCE． 又∵∠AED＝∠CEF， ∴△AED≌△ACEF（ASA）， ∴DE＝EF． （2）如图 ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点， ∴DC＝DB， ∴∠B＝∠4． 又∵DE∥BC， ∴∠4＝∠3，∠B＝∠ADE． ∵DG⊥DC， ∴∠2＋∠3＝90°，即∠2＋∠B＝90°． ∵∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°， ∴∠2＝∠A． ∵CF∥AB， ∴∠DGC＝∠1， ∴∠B＝∠ADE＝∠2＋∠1＝∠A＋∠DGC． 11．如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在AD边上，连结BF并延长，交CD的延长线于点E． 求证：△ABF∽△CEB． 【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠E， ∴△ABF∽△CEB． 12．如图，直线与x轴、y轴交于A，B两点，且OA＝OB＝1．点P是反比例函数y＝的图象在第一象限的分支上的任意一点，点P的坐标为（a，b）．由点P分别向x轴，y轴作垂线PM，PN ... ...
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