人教版高中数学必修一知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题3.2 函数模型及其应用

知识 一、几类不同增长的函数模型 1．常见的函数模型 （1）一次函数模型：（均为常数，），也称线性函数模型．其增长特点是直线上升，增长速度_____． （2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数模型（均为常数，）；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数模型（均为常数，）． （3）指数函数模型：（均为常数，，，）．其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度_____，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． （4）对数函数模型：（为常数，）．其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度_____，即增长速度平缓． （5）幂函数模型：（为常数，）．其增长速度介于指数增长和对数增长之间． 2．几类函数模型的增长差异 一般地，在区间上，尽管函数，和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个，使得当时，就有． 3．指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较 函数 性质 在（0，＋∞）上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 先慢后快，指数爆炸 先快后慢，增长平缓 介于指数函数与对数函数之间，相对平稳 图象的变化 随x的增大，图象与轴接近平行 随x的增大，图象与轴接近平行 随n值变化而各有不同 名师提醒 选取上述三个增长函数模型时，应注意： （1）当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型． （2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型． 二、函数模型的应用 用框图表示如下： 建模 审题、转化、抽象 问题 解决 解模 运算 还原 函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．其中，建立函数模型解决实际问题是常见形式． 解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行： （1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； （2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中． 知识参考答案： 一、1．（1）不变 （3）越来越快 （4）越来越慢 1．线性函数、指数函数、对数函数、幂函数的增长速度 不同的函数增长模型能刻画现实世界中不同的变化规律： （1）线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律； （2）指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律； （3）对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律； （4）幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律． 因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题． 【例1】某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案．在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过万元，同时奖金不超过利润的．现有三个奖励模型：，，，其中哪个模型符合公司的要求？ 【解析】借助计算器或计算机作出函数，，，的部分图象， 如图所示．观察图象发现，在区间上，模型，的图象都有一部分在直线的上方，只有模型的图象始终在的下方，这说明只有按模型进行奖励，才符合公司的要求． 【名师点睛】除了根椐函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断，还可以根据图象进行判断． 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增 ... ...