一元二次方程根与系数的关系 【例1】 如果关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k＜2且k≠1 B．k＜2且k≠0 C．k＞2 D．k＜－2 A [∵关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴k－1≠0且Δ＝(－2)2－4(k－1)×1＞0， 解得：k＜2且k≠1，故选A.] 根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k－1≠0且Δ＝?－2?2－4?k－1?×1＞0. 1．若m，n是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个根，则m＋n－mn的值是( ) A．－3 B．3 C．－1 D．1 D [∵m，n是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个根， ∴m＋n＝－1，mn＝－2，则m＋n－mn＝－1－(－2)＝1，故选D.] 方程组的解集 【例2】 如果关于x，y的二元一次方程组的解为则方程组的解集为( ) A．{(x，y)|(2,1)} B．{(x，y)|(2,3)} C．{(x，y)|(2,2)} D．{(x，y)|(1,2)} C [由方程组 得 根据题意知，即，解集为{(x，y)|(2,2)}，故选C.] 求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式. 2．已知某三种图书的价格分别为10元，15元，20元．某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，每种图书至少一本，则不同的购书方案有多少种( ) A．10 B．9 C．12 D．11 B [设购买10元的a本，15元的b本，则20元的(30－a－b)本， 依题意得：10a＋15b＋20(30－a－b)＝500， 整理，得2a＋b＝20. ①当b＝2时，a＝9， ②当b＝4时，a＝8. ③当b＝6时，a＝7. ④当b＝8时，a＝6. ⑤当b＝10时，a＝5. ⑥当b＝12时，a＝4. ⑦当b＝14时，a＝3. ⑧当b＝16时，a＝2. ⑨当b＝18时，a＝1. 则不同的购书方案有9种． 故选B.] 一元二次不等式的解法 【例3】 解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0. [解] 方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a. 函数y＝x2＋(1－a)x－a的图像开口向上，所以 (1)当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}； (2)当a＝－1时，原不等式解集为?； (3)当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}． 解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图像、一元二次方程的解的关系.如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论. 3．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜m}，则m＝_____. 2 [因为ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜m}， 所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根， 且m>1，a＞0??] 不等式恒成立问题 【例4】 (1)若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}都成立，则实数m的取值范围是_____． (2)对任意－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围． (1)－＜m＜0 [由题意，得函数y＝x2＋mx－1在{x|m≤x≤m＋1}上的最大值小于0，又抛物线y＝x2＋mx－1开口向上， 所以只需 即解得－＜m＜0.] (2)[解] 由y＝x2＋(m－4)x＋4－2m ＝(x－2)m＋x2－4x＋4， g＝(x－2)m＋x2－4x＋4可看作以m为自变量的一次函数． 由题意知在－1≤m≤1上，g的值恒大于零， 所以 解得x＜1或x＞3. 故当x＜1或x＞3时，对任意的－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零． 对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种： ?1?变更主元法 根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元. ?2?转化法求参数范围 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值的集合为B＝{y|m≤y≤n}， 则①y≥k恒成立?ymin≥k即m≥k； ②y≤k恒成立?ymax≤k即n≤k. 4．若不等式ax2－2x＋2>0对于满足10可化为a>. 令y＝，且1
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