6、整除及数字整除特征 【数字整除特征】 例1 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是__。 (上海市第五届小学数学竞赛试题) 讲析:能被99整除的数,一定能被9和11整除。 设千位上和个位上分别填上数字a、b,则:各位上数字之和为[16+(a+b)]。要使原数能被9整除,必须使[16+(a+b)]是9的倍数,即(a+b)之和只能取2或11。 又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是(8+a-b)或(b-a-8),要使原数能被11整除,必须使(8+a-b)或(b-a-8)是11的倍数。经验证,(b-a-8)是11的倍数不合。 所以a-b=3。 又a+b=2或11,可求得a=7,b=4。 从而很容易求出商为427284÷99=4316。 例2 某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除,那么它的最后三位数字依次是__。 (1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题) 讲析:因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。 而1993000÷2520=790余2200。 于是再加上(2520-2200)=320时,就可以了。所以最后三位数字依次是3、2、0。 例3 七位数175□62□的末位数字是__的时候,不管千位上是0到9中的哪一个数字,这个七位数都不是11的倍数。 (上海市第五届小学数学竞赛试题) 讲析:设千位上和个位上的数字分别是a和b。则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+(b-a)]或[(a-b)-3]。 要使原数是11的倍数,只需[3+(b-a)]或[(a-b)-3]是11的倍数。 则有 b-a=8,或者a-b=3。 ①当 b-a=8时,b可取9、8; ②当 a-b=3时,b可取6、5、4、3、2、1、0。 所以,当这个七位数的末位数字取7时,不管千位上数字是几,这个七位数都不是11的倍数。 例4 下面这个四十一位数 55……5□99……9 (其中5和9各有20个)能被7整除,那么中间方格内的数字是__。 (1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题) 讲析:注意到111111÷7=15873,所以555555与999999也能被7整除。则18个5或18个9组成的数,也能被7整除。 要使原四十一位数能被7整除,只需55□99这个五位数是7的倍数。 容易得出,中间方格内的数字是6。 【整除】 例1 一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,适合这些条件的最小数是_____。 (天津市第一届“我爱数学”邀请赛试题) 讲析:所求这个数分别除以3和7时,余数相同。 3和7的最小公倍数为21。所以这个数是23。经检验,23除以5商4余3,23是本题的答案。 例2 一个整数在3600到3700之间,它被3除余2,被5除余1,被7除余3。这个整数是__。 (《现代小学数学》邀请赛试题) 讲析:所求整数分别除以3、5、7以后,余数各不相同。但仔细观察可发现,当把这个数加上4以后,它就能同时被3、5、7整除了。 因为3、5和7的最小公倍数是105。 3600÷105=34余30,105-30=75, 所以,当3600加上75时,就能被3、5和7整除了。即所求这个整数是3675。 例3 在一个两位数中间插入一个数字,就变成了一个三位数。如52中间插入4后变成542。有些两位数中间插入某个数字后变成的三位数,是原两位数的9倍。这样的两位数共有__个。 (中南地区小学数学竞赛试题) 讲析:因为插入一个数字后,所得的三位数是原两位数的9倍,且个位数字相同。则原两位数的个位数字一定是0或5。 又插入的一个数字,必须小于个位数字,否则新三位数就不是原两位数的9倍了。因此原二位数的个位不能为0,而一定是5。 结合被9整除的数字特征,不难找到符合要求的两位数有45、35、25和15共4个。 例4 a是一个自然数,已知a与a+1的各位数字之和都能被7整除,那么这样的自然数a最小是__。(1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一 ... ...
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