求曲边梯形的面积 一．教学目标： 1、知识与技能：了解求简单曲边梯形（x轴上方）的面积的一般求法（即“分割以直代曲作和逼近”），在“以直代曲”方案比较中建构出定积分的概念，初步理解定积分的几何意义，能利用定积分的几何意义求曲边梯形的面积． 2、过程与方法：在解决问题（求曲边梯形）的过程中，体会“以直代曲”的方法和极限的思想；在方案比较中建构数学知识；初步体会数学的思维过程，学会猜想、比较、验证． 3、情感态度与价值观：培养学生主动探求知识、合作交流的意识，培养借助信息技术探究数学问题的意识，感受数学思维的全过程，改善数学学习信念． 二．教学过程： １．情境创设 已知“嫦娥一号”升空做直线运动，设经过t s后的运动速度为（单位：m/s），若的图象分别如图（1）（2）（3）中曲线所示，试求内物体运动的总路程． 由物理学知识可知，即对应曲线下方的“曲边梯形”的面积．因此，问题即转化为如何求曲边梯形的面积，如果说图（2）中“曲边梯形”面积可分解为三个梯形的面积，那么图（3）中“曲边梯形”面积又该如何求呢？ ２．操作探究 为了便于研究问题，我们不妨将问题简化，求直线和曲线所围成的图形（曲边三角形）的面积． 活动① 方案提出 通过计算机演示，启发学生将曲边梯形细分为若干小曲边梯形，并能提出以矩形面积近似替代曲边梯形面积，初步形成“分割以直代曲作和逼近”的问题解决方案，在具体“以直代曲”过程中能通过小组讨论的形式提出多种方案． 活动② 方案落实 以左端点对应的函数值为矩形的边长为例（本过程教师讲授为主）． 1．分割 把区间等分成个小区间（思考：为什么要等分区间？分多少段？）： ，，…，，…， 每个区间的长度为. 过各区间端点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，它们的面积分别记作，，…，，…，．即． 2．以直代曲 对区间上的小曲边梯形，以区间左端点对应的函数值为一边的长，以为邻边的长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，即． 3．作和 因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以个小矩形的面积之和就是所求曲边三角形面积的近似值，其中 ]． 4、逼近 当分割无限变细，即（亦即）时，. 的求法包括： 方法1、计算机计算（一个大致结果）． 方法2、体积构造法: . 将单位正方体每条棱等分，得到个长方体，其体积之和即为；当时，该几何体无限逼近四棱锥，又，从而． 方法3、公式法: 由（公式推导见教材第二章推理与证明P72）有 ， 当时，，从而． 活动③ 实践检验 学生借助于公式法检验另一方案（以右端点的函数值为近似矩形的边长），通过真实的验证过程感受最后总结探究中的曲边梯形面积与具体的“以直代曲”方案无关，从而感受极限思想． 活动④过程回顾 “分割以直代曲作和逼近”四个过程可用如下图（1）至图（4）描述： 活动⑤总结探究 学生通过讨论可得到以上常见的三种方案，即分别以矩形ABCD、矩形ABEF、梯形ABDE（方案3如果学生提不出，可不予考虑）来近似代替相应曲边梯形的面积． 以下用计算机演示检验当时，其和式均无限趋近于同一结果．其实具体方案中虽然面积会有差异，即，但当时，其和式均无限趋近于同一结果，即均能用来求曲边梯形的面积（一方面让学生操作电脑感受，同时借助简单的公式推导强化认识）．从而可将“以直代曲”的方案加以拓展，即可以取小区间内任意一点所对应的函数值作为小矩形一边的长，和式近似表示曲边梯形面积． 三．初步应用 1．计算直线和曲线 围成的阴影图形的面积． 2．火箭发射后t s的速度为 (单位:m/s),假定,对函数按上式所作的和具有怎样的实际意义？ 四．小结（略） 定积分的计算每次均采用“分割以直代曲作和逼近”的操作是不现实的，为此以后将介绍微积分基本定理． 五．作业 ... ...
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