2.3 双曲线 2．3.1 双曲线的标准方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题．(重点) 2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 1.通过对双曲线的定义，标准方程的学习，培养学生的数学抽象素养. 2.借助于双曲线标准方程的推导过程，提升学生的逻辑推理、数学运算素养. 1．双曲线的定义 2．双曲线的标准方程 焦点所在的坐标轴 x轴 y轴 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 焦点坐标 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系式 c2＝a2＋b2 思考1：双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？ [提示] 双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b的大小关系不确定． 思考2：如何确定双曲线标准方程的类型？ [提示] 焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上． 1．若点M在双曲线－＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|等于( ) A．2 B．4 C．8 D．12 B [双曲线中a2＝16，a＝4,2a＝8，由双曲线定义知||MF1|－|MF2||＝8，又|MF1|＝3|MF2|， 所以3|MF2|－|MF2|＝8，解得|MF2|＝4.] 2．双曲线－＝1的焦距为( ) A．3 B．4 C．3 D．4 D [解a2＝10，b2＝2，c2＝a2＋b2＝12，c＝2，2c＝4，故选D.] 3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为_____． －＝1或－＝1 [b2＝c2－a2＝49－25＝24， ∴双曲线方程为－＝1或－＝1.] 双曲线定义的应用 [探究问题] 1．如何理解双曲线定义中的“大于零且小于|F1F2|”？ [提示] ①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)； ②若将“小于|F1F2|改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在； ③若常数为零，其余条件不变，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线． 2．若|MF1|－|MF2|＝|F1F2|，则动点M的轨迹是什么？ [提示] (1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支． 设F1，F2表示双曲线的左、右焦点， ①若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上； ②若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上． (2)双曲线定义的双向运用： ①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线； ②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a. 【例1】 已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32.试求△F1PF2的面积． [思路探究] 根据双曲线的定义及余弦定理求出∠F1PF2即可． [解] 由－＝1得a＝3，b＝4，∴c＝5. 由双曲线定义及P是双曲线左支上的点得 |PF1|－|PF2|＝－6， ∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， 又∵|PF1|·|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝100， 由余弦定理得 cos∠F1PF2＝＝0， ∴∠F1PF2＝90°， ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝16. 1．(变换条件)若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10，求点P到焦点F2的距离． [解] 由－＝1得a＝3，b＝4，∴c＝5， 由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝6， 即|PF1|－|PF2|＝±6， ∴|PF2|＝10±6， ∴点P到焦点F2的距离为4或16. 2．(变换条件)若把本例条件“|PF1|·|PF2|＝32”换成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，其他条件不变，试求△F1PF2的面积． [解] 由－＝1得a＝3，b＝4，∴c＝5， 由|PF1|∶|PF2|＝2∶5， 可 ... ...
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