圆锥曲线的参数方程及应用 对于椭圆的参数方程，要明确a，b的几何意义以及离心角t的意义，要分清椭圆上一点的离心角t和这点与坐标原点连线倾斜角θ的关系，双曲线和抛物线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们的参数方程都有多种形式． 【例1】 在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值． [思路探究] 选择恰当参数，设出点P坐标，代入S式，化简求最值． [解] ∵椭圆＋y2＝1的参数方程为 (t为参数)． 故设动点P(cos t，sin t)， 其中t∈[0,2π)． 因此S＝x＋y＝cos t＋sin t ＝2(sincos t＋cossin t) ＝2sin(t＋)． ∴当t＝时，S取得最大值2. 直线的参数方程及应用 直线参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义． 【例2】 直线l过点P0(－4,0)，它的参数方程为与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点， (1)求弦长|AB|； (2)过P0作圆的切线，求切线长． [思路探究]———→ [解] 将直线l的参数方程代入圆的方程， 得＋＝7， 整理得t2－4t＋9＝0. (1)设A和B两点对应的参数分别为t1和t2， 由根与系数的关系得t1＋t2＝4，t1·t2＝9. 故|AB|＝|t2－t1|＝＝2. (2)设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，则 |P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9， ∴切线长|P0T|＝3. 参数法及应用 参数方法是一种重要的数学方法，尤其在运动变化型问题中，若能引入参数作桥梁，沟通变量之间的联系，既有利于揭示运动变化的本质规律，还能把多个变量统一体现在一个参变量上．但一定要注意，利用参数表示曲线的方程时，要充分考虑到参数的取值范围． 【例3】 如图，已知直线l过点P(2，0)，斜率为，直线l和抛物线y2＝2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求： (1)P、M两点间的距离|PM|； (2)线段AB的长|AB|. [解] (1)∵直线l过点P(2,0)，斜率为， 设直线的倾斜角为α，tan α＝，sin α＝，cos α＝， ∴直线l的参数方程为(t为参数)． ∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2＝2x中， 整理得8t2－15t－50＝0， 则Δ＝(－15)2－4×8×(－50)>0. 设这个二次方程的两个根分别为t1、t2， 由根与系数的关系，得t1＋t2＝， t1t2＝－， 由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得 |PM|＝||＝. (2)|AB|＝|t2－t1| ＝＝. 因此线段AB的长为. 【例4】 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M是曲线C1上的动点． (1)求线段OM的中点P的轨迹的直角坐标方程； (2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P到直线l距离的最大值． [思路探究] (1)将点的坐标设成参数形式，利用参数作为中间变量利于简化运算，再运用平方关系，消参后转化为直角坐标方程． (2)化极坐标方程为直角坐标方程，数形结合，求出最值． [解] (1)曲线C1上的动点M的坐标为 (4cos θ，4sin θ)，坐标原点O(0,0)， 设P的坐标为(x，y)， 则由中点坐标公式得 x＝(0＋4cos θ)＝2cos θ， y＝(0＋4sin θ)＝2sin θ， 所以点P的坐标为(2cos θ，2sin θ)， 因此点P的轨迹的参数方程为(θ为参数，且0≤θ<2π)， 消去参数θ，得点P轨迹的直角坐标方程为x2＋y2＝4. (2)由直角坐标与极坐标关系得 直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0. 又由(1)，知点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆， 因为原点(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离为 ＝＝， 所以点P到直线l距离的最大值为2＋. 函数与方程的思想 参数方程从形式上看 ... ...
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