圆锥曲线的定义及应用 【例1】 (1)已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 (2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为_____． (1)C (2)＋＝1 [(1)把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|写成＝. ∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线． (2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图所示，则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4. 又离心率e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝8， ∴椭圆C的方程为＋＝1.] “回归定义”解题的三点应用 应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程； 应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决； 应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决． 提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件． 1．点P是抛物线y2＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2,3)，求|PM|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标． [解] 抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝－2的距离，过点P作PD垂直于准线x＝－2，垂足为D，那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|. 如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值为|MD|＝2－(－2)＝4， 所以|PM|＋|PF|的最小值是4. 此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为，即点P的坐标是. 圆锥曲线的方程 【例2】 (1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 (2)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_____． (1)D (2)x2－＝1 [(1)由题意得，解得， 则b2＝a2－c2＝3，故椭圆方程为＋＝1. (2)由题意得，解得，则b2＝c2－a2＝3， 因此双曲线方程为x2－＝1.] 求圆锥曲线方程的一般步骤 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形———指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置． (2)定式———根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)． (3)定量———由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小． 2．(1)以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( ) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y C [由题意知2p＝8，故选C.] (2)焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( ) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D．x2＋＝1 A [依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＋＝1.] 圆锥曲线的几何性质 【例3】 (1)如图所示，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( ) A. B. C. D. (2)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为_____． [思路探究] (1)由椭圆可求出|AF1|＋|AF2|，由矩形求出|AF1|2＋|AF2|2，再求出|AF2|－|AF1|即可求出双曲线方程中的a ... ...
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