2.1 圆锥曲线 学 习 目 标 核 心 素 养 1.通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义．(重点、难点) 2.通过用平面截圆锥面，感受、了解双曲线的定义．(难点) 1.通过平面截圆锥面，培养数学抽象素养． 2.借助截得的圆锥面，提升直观想象素养. 圆锥曲线 (1)用平面截圆锥面能得到的曲线图形是两条相交直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线． (2)设P为圆锥曲线上任意一点，常数为2a(a>0)． 定义(自然语言) 数学语言 椭圆 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 PF1＋PF2＝2a＞F1F2 双曲线 平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 |PF1－PF2|＝2a＜F1F2 抛物线 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线 PF＝d，其中d为点P到l的距离 思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？ [提示] (1)点的轨迹是线段F1F2. (2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． 1．已知F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝3，则点P的轨迹为( ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 A [∵|PF1|＋|PF2|＝3＞|F1F2|，∴点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．] 2．已知F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝1，则点P的轨迹为( ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．双曲线的一支 D [∵|PF1|－|PF2|＜|F1F2|，∴轨迹为双曲线的一支．] 3．已知抛物线上一点P到焦点F的距离为，则点P到抛物线准线的距离为_____． [根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离相等，故点P到准线的距离为.] 4．已知F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则点P的轨迹是_____． 一条射线(F1F2的延长线) [∵|F1F2|＝10， ∴|PF1|－|PF2|＝|F1F2|. 则点P的轨迹是一条射线(F1F2的延长线)．] 椭圆的定义及应用 【例1】 (1)已知△ABC中，A(0，－3)，B(0,3)，且△ABC的周长为16，试确定顶点C的轨迹； (2)已知F1，F2为椭圆的两焦点，直线AB过点F1，交椭圆于A，B两点，若椭圆上任一点P满足PF1＋PF2＝5，求△ABF2的周长． [思路探究] (1)由△ABC的周长为16，AB＝6得CA＋CB＝10，根据椭圆的定义知，点C在椭圆上；(2)利用椭圆的定义，把△ABF2的周长分解为点A和点B到焦点的距离之和． [解] (1)由A(0，－3)，B(0,3)得AB＝6，又△ABC的周长为16，所以CA＋CB＝16－6＝10＞6，由椭圆的定义可知，点C在以A、B为焦点的椭圆上，又因为A、B、C为三角形的顶点，所以A、B、C三点不共线，所以点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(除去与A、B所在同一直线的两个点)． (2)由椭圆的定义可知，AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝PF1＋PF2＝5，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝5＋5＝10. 椭圆定义的应用方法 1．判定动点P的轨迹为椭圆，关键分析两点：①点P到两定点的距离之和是否为常数，②该常数是否大于两定点之间的距离． 2．判定点的轨迹时，应注意对个别点进行检验，如本例(1)中，因为△ABC三顶点不共线，所以应去掉直线AB与椭圆的两个交点． 3．当条件中同时出现椭圆的两个焦点及椭圆上一点时，可考虑应用椭圆的定义进行求解． 1．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a>0，a为常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的_ ... ...
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