1.3 组合 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解组合与组合数的概念，正确认识组合与排列的区别与联系．(易混点) 2．会推导组合数公式，并会应用公式进行计算．(重点) 1.通过对组合学习，发展数学抽象素养． 2．借助组合数公式的推导及应用，提升逻辑推理、数学运算素养. 1．组合与组合数的概念 (1)组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 思考1：组合与组合数有何区别？ [提示] 从n个不同元素中任意取出m(m≤n)个元素并成一组即为一个组合，一个组合就是完成事情的一种方法，而组合数是指所有组合的个数；组合可以是由任何元素组成的，而组合数是一个数字，是所有组合的个数． 2．组合数公式及性质 (1)组合数公式：C＝＝ ＝. (2)组合数的性质： ①C＝C；②C＝C＋C. 思考2：区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？ [提示] 关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题． 1．下列问题是组合问题的有( ) ①从5名同学中选4名组成代表团参加对外交流；②一个小组有7名学生，现抽调5人参加劳动；③从5名同学中选4名组成代表团去4个单位参加对外交流． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ A [①②与顺序无关是组合问题，③与顺序有关是排列问题．] 2．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是_____种． 3 [甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C＝＝3.] 3．C＝_____，C＝_____. 15 18 [C＝＝15，C＝C＝18.] 4．方程C＝C的解为_____． 4或6 [由题意知或 解得x＝4或6.] 组合的概念 【例1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题． (1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？ (2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ (3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ [思路探究] 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关． [解] (1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别． (2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别． (3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别． (4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别． 1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合． 2．区分有无顺序的方法 把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． 1．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合． [解] 要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示： 由此可得所有的组合为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de. 组合数的计算与证明 【例2】 (1)计算：3C－2C； (2)计算：C＋C. [思路探究] (1)直接运用组合数公式进行计算； (2)先求出n，再按组合数公式进行运算． [解] (1)3C－2C＝3×－2×＝148. (2)由组合数的意义可得 即∴≤n≤. ∵n∈N*，∴n＝10， ∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝＋31＝466. 关于组合数计算公式的选取 (1)涉及具 ... ...
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