第六节 双曲线 1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0. (1)当2a＜F1F2时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝F1F2时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a＞F1F2时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性 质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 [小题体验] 1．双曲线x2－5y2＝10的焦距为_____． 解析：∵双曲线的标准方程为－＝1，∴a2＝10，b2＝2，∴c2＝a2＋b2＝12，c＝2，故焦距为4. 答案：4 2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长为_____． 解析：双曲线2x2－y2＝8的标准方程为－＝1，实轴长为2a＝4. 答案：4 3．已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于_____． 解析：∵右焦点为(3,0)，∴c＝3.∴a2＝c2－b2＝9－5＝4，∴a＝2，∴e＝＝. 答案： 1．双曲线的定义中易忽视2a＜F1F2这一条件．若2a＝F1F2，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞F1F2，则轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a＞0，b＞0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同． 若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，)； 若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝； 若0＜a＜b，则双曲线的离心率e∈(，＋∞)． 3．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2. 4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±. [小题纠偏] 1．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若PF1＝9，则PF2等于_____． 解析：由题意知PF1＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有PF2－PF1＝2a＝8，故PF2＝PF1＋8＝17. 答案：17 2．若a＞1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是_____． 解析：由题意得双曲线的离心率e＝. 即e2＝＝1＋. 因为a＞1，所以0＜＜1， 所以1＜1＋＜2，所以1＜e＜. 答案：(1，) 3．离心率为，且经过(－，2)的双曲线的标准方程为_____． 解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设方程为－＝1. 则有解得 所以所求双曲线的标准方程为x2－＝1. 当双曲线焦点在y轴上时，设方程为－＝1. 则有解得 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 答案：x2－＝1或－＝1 [题组练透] 1．若方程＋＝1(k∈R)表示双曲线，则k的取值范围是_____． 解析：依题意可知(k－3)(k＋3)＜0，解得－3＜k＜3. 答案：(－3,3) 2．已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的标准方程为_____． 解析：因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 答案：－＝1 3．若以F1(－，0)，F2(，0)为焦点的双曲线过点(2,1)，则该双曲线的标准方程为_____． 解析：依题意，设题中的双曲线方程是－＝1(a＞0，b＞0)，则有 解得a2＝2，b2＝1. 因此该双曲线的标准方程是－y2＝1. 答案：－y2＝1 4．(2019·苏锡常镇调研)已知双曲线Γ过点(2，)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线，则双曲线Γ的标准方程为_____． 解析：依题意，设所求双曲线的标准方程为－y2＝ ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
