§3 基本不等式 3.1 基本不等式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解基本不等式的证明过程及其几何解释．(难点) 2．了解算术平均数，几何平均数的定义．(重点) 3．会用基本不等式推出与基本不等式有关的简单不等式．(重点) 1.通过基本不等式的推导，培养逻辑数学素养． 2．通过基本不等式的应用，提升数学运算素养. 1．基本不等式 阅读教材P88～P89阅读材料以上部分，完成下列问题． (1)基本不等式 如果a，b都是非负数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数，该不等式又被称为均值不等式． (2)基本不等式的文字叙述 两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (3)意义 ①几何意义：半径不小于半弦． ②数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 思考：(1)不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)成立吗？如何证明？ [提示] 成立，证明如下：由a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，知a2＋b2≥2ab． (2)设x＞0，y＞0，比较＋和的大小． [提示] 在不等式a＋b≥2中令a＝，b＝可得＋≥. 2．基本不等式的证明 一般地，对于任意实数a，b，我们有a2＋b2≥2ab， 当且仅当a＝b时，等号成立． 特别地，如果a>0，b>0，我们用，分别代替a，b可得a＋b≥2， 通常我们把上式写作≤(a>0，b>0)． 下面我们来证明一下： 要证 ≥， ① 只要证 a＋b≥2， ② 要证②只要证a＋b－2≥0， ③ 要证③只要证(－)2≥0， ④ 显然④成立，当且仅当a＝b时④中的等号成立． 1．给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0，其中能使＋≥2成立的条件有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C [当，均为正数时，＋≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以．] 2．不等式x＋4≥4(x＞0)中等号成立的条件是_____． x＝4 [由a＋b≥2(a＞0，b＞0)中等号成立的条件是a＝b知x＝4.] 3．比较大小：_____x. ≥ [在不等式≥ab中令a＝x，b＝，可得≥x，当x＝时等号成立．] 4．设常数a>0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围是_____． [由题意知，当x>0时，?(x)＝9x＋≥2＝6a≥a＋1?a≥.] 利用基本不等式比较大小 【例1】 已知0
0，b>0，所以a＋b≥2，a2＋b2≥2ab，所以四个数中最大数应为a＋b或a2＋b2. 又因为00，b>0，试比较，，，的大小，并说明理由． [解] 因为a>0，b>0，所以＋≥； 即≥(当且仅当a＝b时取等号)， 又2＝≤ ＝，所以≤(当且仅当a＝b时等号成立)， 而≤，故≥≥≥(当且仅当a＝b时等号成立)． 用基本不等式 证明不等式 【例2】 已知x，y都是正数． 求证：(1)＋≥2； (2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. [证明] (1)∵x，y都是正数， ∴＞0，＞0， ∴＋≥2＝2，即＋≥2， 当且仅当x＝y时，等号成立． (2)∵x，y都是正数，∴x＋y≥2＞0， x2＋y2≥2＞0，x3＋y3≥2＞0. ∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3， 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3， 当且仅当x＝y时，等号成立． 利用基本不等式证明不等式的注意点 (1)在利用基本不等式证明时，要注意查看基本不等式成立的条件是否满足，若所证明的不等式中含有等号，还要注意等号是否能成立． (2)在证明过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项，或 ... ... 