中小学教育资源及组卷应用平台 19高考大题专练之导数最值问题 1.求函数的最值 解：，令,解得： 的单调区间为： ，无最小值 2.已知，函数． （Ⅰ）当时，求的最小值； （Ⅱ）若在区间上是单调函数，求的取值范围． 【解析】（Ⅰ）当时，（）， ． 所以，当时，；当时，． 所以，当时，函数有最小值． （Ⅱ）． 当时，在上恒大于零，即，符合要求． 当时，要使在区间上是单调函数， 当且仅当时，恒成立． 即恒成立． 设， 则， 又，所以，即在区间上为增函数， 的最小值为，所以． 综上， 的取值范围是，或． 3：已知函数,是否存在实数，使得在上取得最大值，最小值若存在，求出的值，若不存在，请说明理由 解：， （1）当时， 在单调递减 （2）当时， 在单调递增 或 4．函数，，实数为常数. （I）求的最大值； （II）讨论方程的实数根的个数. 【解析】（Ⅰ）的导数为. 在区间，，是增函数；在区间上，，是减函数. 所以的最大值是. （Ⅱ），方程的实数根个数，等价于函数的零点个数. . 在区间上，，是减函数； 在区间上，，是增函数. 在处取得最小值. ①当时，，没有零点； ②当时，有唯一的零点； ③当时，在区间上，是增函数，并且. ，所以在区间上有唯一零点； 在区间上，是减函数，并且， ，所以在区间上有唯一零点. 5：已知函数的定义域为，求在上的最值 解：，令解得 在单调递减，在单调递增 为的极小值点 （1）当时，在单调递增 （2）当时， 在单调递减，在单调递增 下面比较的大小 若 时， 当时， 当时， 综上所述：时， 时，， 时， 时， 6．已知函数 （Ⅰ）当时，求函数的最大值； （Ⅱ）当时，曲线在点处的切线与有且只有一个公共 点，求的值. 【详解】 （Ⅰ）时,, 在上,在上,故 (Ⅱ)由题设知：切线的方程为,于是方程: 即有且只有一个实数根; 设,得; ①当时，,为增函数,符合题设; ②当时，有得 在此区间单调递增,; 在此区间单调递减,; 在此区间单调递增,;此区间存在零点,即得不符合题设. 综上可得. 7.已知函数在上是增函数，函数.当时，函数的最大值与最小值的差为，则_____? 解：（1）当时，则 ，可判断出为减函数 ，故舍去 （2）当时， 时，单调递减， 当时 单增，。，所以。所以，从而有，解得。 答案： 8．已知函数f(x)＝ (x0) (1) 讨论f(x)的单调区间； (2) 若总存在x00，使得 f(x0)<，求a的取值范围 【解析】分析：（1）求导 ，令，易证在上单调递减，即，从而得故在和上单调递减； （2）作差 ，令g(x)= +1 ，则，当时，，易证所以在(0，)单调递减，取x0=，则g(x0)0，所以<0，不等式成立，当时，，令，利用F(0)=0，结合单调性可知不成立. 详解：（1） ， 令 则 ∴在上单调递增，在上单调递减 ∴，又∵ ∴，故在和上单调递减 （2）= ①当时，令g(x)=+1 则 g’(x)= 由a>2知：当00 所以<0，符合题意 ②当时， 令 则F(0)=0 ==－h(x) 由(1)知h(x)<0，所以F’(x)>0 则F(x)在和上单调递增， 由F(0)=0，则在上，F(x)<0，，此时 同理：在上，也有.故不存在使得， 综上：. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com) ... ...
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