第十一节 导数在函数研究中的应用 1．函数的单调性 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 2．函数的极值 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 知识点一 利用导数研究函数的单调性 1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上是增加的． (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上是减少的． (3)若f__′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f__′(x)． (2)在定义域内解不等式f__′(x)>0或f__′(x)<0. (3)根据结果确定f(x)的单调区间． ?易误提醒 1．在某个区间(a，b)上，若f———(x)>0，则f(x)在这个区间上单调递增；若f———(x)<0，则f(x)在这个区间上单调递减；若f———(x)＝0恒成立，则f(x)在这个区间上为常数函数；若f———(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数． 2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f———(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f———(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立． [自测练习] 1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为( ) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R 2．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是_____． 知识点二 利用导数研究函数的极值 1．函数的极大值 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值． 2．函数的极小值 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点． ?易误提醒 f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的非充分非必要条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点；又如f(x)＝|x|，x＝0是它的极小值点，但f′(0)不存在． [自测练习] 3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f———(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 考点一 利用导数研究函数的单调性| (2019·重庆模拟)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围． 利用导数研究函数的单调性应注意两点 (1)在区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． (2)可导函数f(x)在(a，b)内是增(减)函数的充要条件是：?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零． 已知函数f(x)＝mln x－x2(m∈R)，求函数f(x)的单调区间． 考点二 已知单调性求参数范围| (2019·福州模拟)已知函数f(x)＝－－ax(a∈R)． (1)当a＝时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在[－1,1]上为单调函数，求实数a的取值范围． 已知函数单调性，求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集． (2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f———(x)≥0；若函数单调递减，则f———(x)≤0”来求解． 提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)，都有f———(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f———(x)≠0. ... ...
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