平行四边形及其性质（基础） 【学习目标】 1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理. 2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题． 3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用． 4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等”。“夹在两条平行线间的垂线段相等” ． 【要点梳理】 知识点一、平行四边形的定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 知识点二、平行四边形的性质定理 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角线互相平分； 要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 知识点三、平行线的性质定理 1.两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. 2．平行线性质定理及其推论 夹在两条平行线间的平行线段相等. 平行线性质定理的推论： 夹在两条平行线间的垂线段相等. 【典型例题】 类型一、平行四边形的性质 1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线．求证：DF＝EC． 【答案与解析】 证明：∵ 在ABCD中，CD∥AB， ∠DFA＝∠FAB． 又∵ AF是∠DAB的平分线， ∴ ∠DAF＝∠FAB， ∴ ∠DAF＝∠DFA， ∴ AD＝DF． 同理可得EC＝BC． ∵ 在ABCD中，AD＝BC， ∴ DF＝EC． 【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等，对边平行且相等，为证明线段相等提供了条件． 举一反三： 【变式】如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF，请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明. 【答案】 证明：猜想：BE ∥DF且BE＝DF. ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴CB=AD，CB∥AD ∴∠BCE＝∠DAF 在△BCE和△DAF中 ∴△BCE≌△DAF ∴BE＝DF，∠BEC＝∠DFA ∴BE∥DF 即 BE ∥DF且BE＝DF. 2.（2019·永州）如图，在?ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E． （1）求证：BE=CD； （2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积． 【思路点拨】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA，即可证明；（2）证明△ABE为等边三角形，由勾股定理求出BF，由AAS证明△ADF≌△ECF，得出△ADF与△ECF的面积相等，平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积，即可得出结果． 【答案与解析】 （1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，AB=CD， ∴∠AEB=∠DAE， 又∵AE是∠BAD的角平分线， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠AEB=∠BAE， ∴AB=BE， ∴BE=CD． （2）解：∵AB=BE，∠BEA=60° ∴△ABE为等边三角形， ∴AE=AB=4， ∵BF⊥AE， ∴AF=EF=2， ∴BF=， ∵AD∥BC， ∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E， 在△ADF和△ECF中， , ∴△ADF≌△ECF（AAS） ∴△ADF的面积=△ECF的面积， ∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=． 【总结升华】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定、勾股定理；解答本题注意掌握平行四边形的对边平行且相等的性质． 3. ... ...
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