圆锥曲线过定点问题

圆锥曲线过定点问题： 一、小题自测 1. 无论取任何实数，直线必经过一个定点，则这个定点的坐标为 . 2. 已知直线；圆，则直线与圆的位置关系为 . 二、几个常见结论： 满足一定条件的曲线上两点连结所得的直线过定点或满足一定条件的曲线过定点，这构成了过定点问题。 1、过定点模型：是圆锥曲线上的两动点，是一定点，其中分别为的倾斜角，则有下面的结论： ①、为定值直线恒过定点； ②、为定值直线恒过定点； ③、直线恒过定点. 2、抛物线中的过定点模型：是抛物线上的两动点，其中分别为的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论： 直线恒过定点. 3、椭圆中的过定点模型：是椭圆上异于右顶点的两动点，其中分别为的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论： 直线恒过定点. 三、方法归纳： ★参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。 ★特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。 ★关系法：对满足一定条件曲线上的两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。 四、例题分析： 例1：过椭圆的左顶点A作互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点.求证：直线MN过定点， 并求出该定点坐标． ★证明： 解法一：设，直线. ， ，， 化简得： 解得：，直线，过定点. 解法二：（考查极端位置、特殊位置确定出定点，从而转化为一般性证明题） 令，此时，所以直线过定点. 当，. 三点共线，即：直线过定点. 解法三：设直线，则直线 所以点，同理：点 ，直线 令得，所以直线过定点. 例2：2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷） 已知椭圆：，四点，，，中恰有三点 在椭圆上． （1）求的方程； （2）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为， 证明：过定点． ★分析：出现（是曲线上一动点，是曲线另外两点），可以得到直线 过定点。 ★解：（1）根据椭圆对称性，必过、，又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点 将代入椭圆方程得，解得，∴椭圆的方程为：． （2）当斜率不存在时，设 ，得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． 当斜率存在时，设， 联立，整理得，，，则又此时，存在使得成立． ∴直线的方程为，当时，，所以过定点． ★小结：此类问题的解题步骤： 第一步：设直线的方程为，联立曲线方程得根与系数的关系，用求出参数的取值范围； 第二步：由与的关系，得到一次函数或者； 第三步：将或者代入，得 例3：已知左焦点为F(－1，0)的椭圆过点E(1，)．过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的 动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若P为线段AB的中点，求k1； （3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标． ★分析：第（3）问，可有一般的情形：过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦，则两动 弦的中点所在直线过定点． ★解：依题设c=1，且右焦点(1，0)．所以，2a==， b2=a2－c2=2，故所求的椭圆的标准方程为． (2)设A(，)，B(，)，则①，②． ②－①，得 ． 所以，k1=． (3)依题设，k1≠k2． 设M(,)，直线AB的方程为y－1=k1(x－1)，即y=k1x+(1－k1)，亦即y=k1x+k2， 代入椭圆方程并化简得 ． 于是，，． 同理，，． 当k1k2≠0时，直线MN的斜率k==． 直线MN的方程为， 即 ，亦即 ． 此时直线过定点．当k1k2= ... ...