第二章 数列 2.4 等比数列 2.4 等比数列(第2课时) 学习目标 灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项的概念;熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否是等比数列的方法.通过自主探究、合作交流获得对等比数列性质的认识.充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣. 合作学习 一、设计问题,创设情境 首先回忆一下上一节课所学主要内容: 1.等比数列:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),即: .? 2.等比数列的通项公式: .? 二、信息交流,揭示规律 1.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即G=±ab(a,b同号). 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则 ,反之,若G2=ab,则Ga=bG,即a,G,b成等比数列.? (1)在等比数列{an}中,是否有an2=an-1an+1(n≥2)? (2)如果数列{an}中,对于任意的正整数n(n≥2),都有an2=an-1an+1,那么{an}一定是等比数列吗? 分析:(1)由{an}是等比数列,知anan-1=an+1an,所以有an2=an-1an+1(n≥2); (2)当数列为0,0,0,0,…时,仍有an2=an-1an+1,而等比数列的任一项都是不为零的,所以不一定;若数列{an}中的每一项均不为零,且an2=an-1an+1(n≥2,n∈N),则数列{an}是等比数列,反之成立. 2.几个性质 (1)已知a1,a2,a3,…,an是公比为q的等比数列,新数列an,an-1,…,a2,a1也是等比数列吗? 分析:由等比数列的定义可得a2a1=a3a2=…=anan-1=q. 所以an-1an=…=a2a3=a1a2=1q,由此可以看出an,an-1,…,a2,a1是从第2项起,每一项与它的前一项的比值都等于1q,所以是首项为 ,公比为 的等比数列.? (2)已知无穷等比数列{an}的首项为a1,公比为q. ①依次取出数列{an}的所有奇数项,组成一个新数列,这个数列还是等比数列吗?如果是,它的首项和公比分别是多少? ②数列{can}(其中常数c≠0)是等比数列吗?如果是,它的首项和公比分别是多少? 分析:①由an+1an=q,得an+1=anq, a3=a2q=a1q2,所以a3a1=q2;a5=a4q=a3q2,所以a5a3=q2;以此类推,可得,a2n+1a2n-1=a2n-1q2a2n-1=q2,所以数列{an}的所有奇数项组成的数列是首项为 ,公比为 的等比数列.? ②因为ca2ca1=ca3ca2=…=cancan-1=q, 所以数列{can}(c≠0)是首项为ca1,公比为q的等比数列. (3)已知数列{an}是等比数列. ①a52=a3a7是否成立?a52=a1a9成立吗? ②an2=an-1an+1(n>1)是否成立? ③an2=an-kan+k(n>k>0)是否成立? ④在等比数列中,m+n=p+k,am,an,ap,ak有什么关系呢? 分析:①设数列{an}的公比为q,则a3=a1q2,a5=a1q4, a7=a1q6,a52=a12q8,a3a7=(a1q2)(a1q6)=a12q8, 所以a52=a3a7,同理a52=a1a9. ②an2=an-1an+1(n>1)成立. ③an2=an-kan+k(n>k>0)成立. ④由等比数列定义,得am=a1qm-1,an=a1qn-1,ap=a1qp-1,ak=a1qk-1, am·an=a12qm+n-2,ap·ak=a12qp+k-2,则aman=apak. 结论:若m+n=p+k,则 .? 三、运用规律,解决问题 【例1】等比数列{an}中, (1)已知a2=4,a5=-12,求数列{an}的通项公式; (2)已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值. 【例2】如果数列{an},{bn}是项数相同的等比数列,那么{an·bn}也是等比数列. 【例3】设a,b,c,d成等比数列,求证:(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2. 【例4】若a,b,c成等差数列,且a+1,b,c与a,b,c+2都成等比数列,求b的值. 四、变式训练,深化提高 变式训练1:等比数列{an}中,若a7·a12=5,则a8·a9·a10·a11= .? 变式训练2:等比数列{an}中,若a1+a2+a3=7,a1·a2·a3=8,则an= .? 变式训练3:已知数列{an}为等比数列,且a ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
