[学生用书P109(单独成册)]) [A 基础达标] 1．动点P(x，y)到点F(3，0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是( ) A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 解析：选D.依题意可知动点P(x，y)在直线右侧，设P到直线x＋2＝0的距离为d，则|PF|＝d＋1，所以动点P到F(3，0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线．故选D. 2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p＝( ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选B.因为a2＝6，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝4，c＝2，即椭圆的右焦点为(2，0)，所以抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为(2，0)，所以＝2，p＝4. 3．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为( ) A．y2＝x或x2＝－8y B．y2＝x或y2＝8x C．y2＝－8x D．x2＝－8y 解析：选A.因为点P在第四象限，所以抛物线开口向右或向下．当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，所以p1＝，所以抛物线方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，p2＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y. 4．已知P(8，a)在抛物线y2＝4px(p>0)上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( ) A．2 B．4 C．8 D．16 解析：选B.由题意可知准线方程为x＝－p， 所以8＋p＝10，所以p＝2. 所以焦点到准线的距离为2p＝4. 5．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是( ) 解析：选D.a2x2＋b2y2＝1其标准方程为＋＝1，因为a>b>0，所以<，表示焦点在y轴上的椭圆； ax＋by2＝0其标准方程为y2＝－x，表示焦点在x的负半轴的抛物线． 6．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝_____． 解析：由题意知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3，0)，半径为4，抛物线的准线为x＝－，由题意知3＋＝4，所以p＝2. 答案：2 7．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是_____． 解析：由方程y2＝－12x，知焦点F(－3，0)，准线l：x＝3.设所求点为P(x，y)，则由定义知|PF|＝3－x.又|PF|＝9，所以3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6. 所以所求点的坐标为(－6，6)，(－6，－6)． 答案：(－6，6)，(－6，－6) 8．若抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点的横坐标是_____． 解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知点A到焦点F的距离等于点A到准线的距离，即|AF|＝x1＋＝x1＋.同理|BF|＝x2＋＝x2＋.故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝5，即x1＋x2＝4，得＝2，故线段AB的中点的横坐标是2. 答案：2 9．根据下列条件求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点； (2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5. 解：(1)由双曲线方程得－＝1， 其左顶点为(－3，0)． 因此抛物线的焦点为(－3，0)． 设其标准方程为y2＝－2px(p>0)，则＝3.所以p＝6. 因此抛物线的标准方程为y2＝－12x. (2)当抛物线开口向右时，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)， A(x0，－3)，依题意得 解得p＝1，或p＝9. 当抛物线开口向左时，设抛物线的标准方程为 y2＝－2px(p>0)， A(x0，－3)，依题意得 解得p＝1或p＝9. 综上所述，所求抛物线的标准方程为 y2＝±2x或y2＝±18x. 10.如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|＝18米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若|CD|＝9米，那么|DE|不超过多少米才能使货船通过拱桥？ 解：如图所示，以点O为原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为 y轴建立平面直角坐标系，则B(9，－8)．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)． 因为B点在抛物线上，所以81＝－2p·(－8)， 所以p＝，所以抛物线的方程为x2＝－y.当x＝时，y＝－ ... ...
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