高中数学苏教版必修1讲义：2.2.2函数的奇偶性

2.2.2　函数的奇偶性 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解函数奇偶性的定义及奇偶函数的图象特征. 2.会判断函数的奇偶性．(重点) 3.掌握函数奇偶性的运用．(难点) 通过学习本节内容培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养，提升学生的数学运算核心素养. 1．偶函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数． 2．奇函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数． 3．奇偶性 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性． 4．奇、偶函数的图象性质 (1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数． (2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)＝x的图象关于(0,0)对称． (　　) (2)偶函数的图象一定与y轴相交． (　　) (3)若对函数f(x)有f(－1)＝f(1)，则f(x)为偶函数． (　　) (4)奇函数的图象一定过(0,0)． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．若f(x)是定义在区间[a－2,5]上的奇函数，则a＝_____. －3　[易知a－2＋5＝0，∴a＝－3.] 3．已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)的值等于_____． －10　[f(－2)＝2，∴－8a－2b－4＝2，∴8a＋2b＝－6，∴f(2)＝8a＋2b－4＝－10.] 函数奇偶性的判断 【例1】　(1)若函数f(x)的图象如图，则f(x)为_____函数．(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”) (2)判断下列函数的奇偶性． ①f(x)＝； ②f(x)＝＋； ③f(x)＝＋. 思路点拨：(1)观察图象的对称性． (2)利用奇偶性的定义，先确定定义域，再看f(x)与f(－x)的关系． (1)偶　[因为函数的图象关于y轴对称，所以函数是偶函数．] (2)[解]①因为函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 又f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数． ②定义域要求 所以－1≤x＜1， 所以f(x)的定义域不关于原点对称， 所以f(x)是非奇非偶函数． ③由 得x∈{2，－2}，定义域关于原点对称，且f(±2)＝0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数． 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 (2)图象法 若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用于选择题中． 1．判断下列各函数的奇偶性． (1)f(x)＝(x－2)； (2)f(x)＝ [解]　(1)由≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数． (2)当x<－1时，f(x)＝x＋2，－x>1， ∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)； 当x>1时，f(x)＝－x＋2，－x<－1， f(－x)＝－x＋2＝f(x)； 当－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，f(－x)＝0＝f(x)． ∴对定义域内的每个x都有f(－x)＝f(x)，因此f(x)是偶函数. 已知函数奇偶性求解析式 【例2】　(1)已知f(x)是R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x(1＋x)，求f(x)； (2)若函数f(x)＝x2＋(m－1)x＋3(x∈R)是偶函数，求m的值． 思路点拨：(1)已知x<0时的解析式，用奇偶性求x>0的解析式，应通过(－x)进行过渡，但别忽视x＝0的情况；(2)应用偶函数满足f(－x)＝f(x)． [解]　(1)∵f(x)为R上的奇函数， ∴f(－0)＝－f(0)， ∴f(0)＝0. 当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)， ∴f(－x)＝x(1－x)． ∵f(x)为R上的奇函数， ∴－f(x)＝x(1－x)， ∴f(x)＝－x(1－x)． 综上可知，f(x)＝ (2)∵f(x)为偶函数， ∴f(－x)＝f(x)， 即x2－(m－1)x＋3＝x2＋(m－1)x＋3， ∴2(m－1)x＝0. ∵x∈R，∴m－1＝0，得m＝1. 1．(变条件)若将(1)中的“奇函数”改为“偶函数且f(0)＝0”，求f(x)． [解]　设x∈(0，＋∞)，则－x∈(－∞，0)， ∴f(－x)＝－(－x)[1＋(－x)]＝x(1－x ... ...