导数专题讲义一 分类讨论

导数中的分类讨论 探究1：设函数，． 求函数的单调增区间； 解析：. 因为， 所以（）， ①当时，由，解得； ②当时，由，解得； ③当时，由，解得； ④当时，由，解得； ⑤当时，由，解得. 综上所述，当时，的增区间为； 当时，的增区间为； 时，的增区间为. 变式1：已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）求函数在区间上的最大值 解：（1） （i）当a=0时，令得 若，则，从而在上单调递增； 若，则，从而f（x）在上单调递减。 （ii）当a＜0时，令得 故或 若，则，从而f（x）在上单调递减； 若，则，从而f（x）在上单调递增； 若，则，从而f（x）在上单调递减。 （2）（i）当a=0时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（1）=1； （ii）当时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是； （iii）当时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是。 探究2：已知函数. 求函数的单调区间； （2）由于，． （ⅰ）当时，则，， 令，得（负根舍去）， 且当时，；当时，， 所以在上单调减，在上单调增.……4分 （ⅱ）当时， ①当时， , 令，得（舍）， 若，即, 则，所以在上单调增； 若，即, 则当时，；当时，，所以在区间上是单调减，在上单调增. ②当时, , 令，得，记， 若，即, 则，故在上单调减； 若，即, 则由得，且， 当时，；当时，；当 时，，所以在区间上是单调减，在上单调增；在上单调减. 综上所述，当时,单调递减区间是 ，单调递增区间 是； 当时, 单调递减区间是，单调的递增区间是 ； 当时, 单调递减区间是(0, )和， 单调的递增区间是和. 探究3：已知为正的常数，函数；[来源:Z,xx,k.Com] 设，求函数在区间上的最小值； 解：（1）由a=2，得f（x）=|2x﹣x2|+lnx（x＞0）． 当0＜x＜2时，． 由f′（x）=0，得﹣2x2+2x+1=0，解得，或（舍去）． 当时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0． ∴函数f（x）的单调增区间为（0，），（2，+∞）． 当x＞2时，． 由f′（x）=0，得2x2﹣2x+1=0． f（x）在（2，+∞）上为增函数． ∴函数f（x）的单调增区间为（），（2，+∞）． （2）． ①若a≤1，则．则． ∵x∈[1，e]，∴0≤lnx≤1，1﹣lnx≥0，x2+1﹣lnx≥0，∴g′（x）＞0． ∴g（x）在[1，e]上为增函数，∴g（x）的最小值为g（1）=1﹣a．[来源:学|科|网Z|X|X|K]②a≥e，则g（x）=a﹣x+，则． 令h（x）﹣x2+1﹣lnx，则． 所以h（x）在[1，e]上为减函数，则h（x）≤h（1）=0． 所以g（x）在[1，e]上为减函数，所以g（x）的最小值为g（e）=a﹣e+． ③当1＜a＜e，， 由①，②知g（x）在[1，a]上为减函数，在[a，e]上为增函数， ∴g（x）的最小值为g（a）=． 综上得g（x）的最小值为g（a）= 拓展1：设函数． （1）当时，求证：为单调增函数； （2）当时，的最小值为4，求的值． 解：（1）当时，，所以， 所以为单调增函数． （2）． ①当时，在区间上是单调增函数，最小值为， 由，得（舍去）． ②当时，在区间上是减函数，在区间上是增函数，最小值为， 由，得或（舍去）． ③当时，在区间上是减函数，最小值为，由，得（舍） 综上所述，． 变式：已知函数f (x)＝(m－3)x3 + 9x. （1）若函数f (x)在区间(－∞，+∞)上是单调函数，求m的取值范围； （2）若函数f (x)在区间［1，2］上的最大值为4，求m的值． 【解】（1）因为(0)＝9 > 0，所以f (x)在区间上只能是单调增函数．由(x)＝3(m－3)x2 + 9≥0在区间(－∞，+∞)上恒成立，所以m≥3．故m的取值范围是［3，+∞) ． （2）当m≥3时，f (x)在［1，2］上是增函数，所以[f (x)] max＝f (2)＝8(m－3)＋18＝4, 解得m＝<3，不合题意，舍去． 当m＜3时，(x)＝3(m－3) x2 + 9=0，得． 所以f (x)的单调区间为：单调减，单调增，单调减． ①当，即时，，所以f (x)在区间［1，2］上单调增，[f (x)] max ＝f(2)＝8(m－3) ... ...